已知四边形ABCD,AD∥BC,连接BD.(1)小明说:“若添加条件BD2=BC2+CD2,则四边形ABCD是矩形.”你认为小明的说法是否正确?若正确,请说明理
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已知四边形ABCD,AD∥BC,连接BD. (1)小明说:“若添加条件BD2=BC2+CD2,则四边形ABCD是矩形.”你认为小明的说法是否正确?若正确,请说明理由;若不正确,请举出一个反例说明; (2)若BD平分∠ABC,∠DBC=∠BDC,tan∠DBC=1,求证:四边形ABCD是正方形. |
答案
![魔方格](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191031/20191031124627-65913.png) (1)不正确.(1分) 如图作(直角)梯形ABCD,(2分) 使得AD∥BC,∠C=90°. 连接BD,则有BD2=BC2+CD2.(3分) 而四边形ABCD是直角梯形不是矩形.(4分)
(2)证明:如图, ∵tan∠DBC=1, ∴∠DBC=45°.(5分) ∵∠DBC=∠BDC, ∴∠BDC=45°. 且BC=DC.(6分) 法1:∵BD平分∠ABC, ∴∠ABD=45°,∴∠ABD=∠BDC. ∴AB∥DC. ∴四边形ABCD是平行四边形.(7分)
![魔方格](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191031/20191031124627-30853.png)
又∵∠ABC=45°+45°=90°, ∴四边形ABCD是矩形.(8分) ∵BC=DC, ∴四边形ABCD是正方形.(9分)
法2:∵BD平分∠ABC,∠BDC=45°,∴∠ABC=90°. ∵∠DBC=∠BDC=45°,∴∠BCD=90°. ∵AD∥BC, ∴∠ADC=90°.(7分) ∴四边形ABCD是矩形.(8分) 又∵BC=DC ∴四边形ABCD是正方形.(9分)
法3:∵BD平分∠ABC,∴∠ABD=45°.∴∠BDC=∠ABD. ∵AD∥BC,∴∠ADB=∠DBC. ∵BD=BD, ∴△ADB≌△CBD. ∴AD=BC=DC=AB.(7分) ∴四边形ABCD是菱形.(8分) 又∵∠ABC=45°+45°=90°, ∴四边形ABCD是正方形.(9分) |
举一反三
已知直角梯形ABCD中,AB∥DC,∠DAB=90°,AD=DC=AB,E是AB的中点. (1)求证:四边形AECD是正方形; (2)求∠B的度数.![魔方格](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191031/20191031124620-30062.png) |
如图,已知等腰梯形ABCD的中位线EF的长为5,腰AD的长为4,则这个等腰梯形的周长为______.![魔方格](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191031/20191031124618-86488.png) |
已知如图所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=AD=DC=8,∠B=60°,连接AC. (1)求cos∠ACB的值; (2)若E、F分别是AB、DC的中点,连接EF,求线段EF的长.![魔方格](http://img.shitiku.com.cn/uploads/allimg/20191031/20191031124615-34332.png) |
梯形的中位线长是8cm,如果上底长为5cm,那么下底长为______cm. |
已知AB、CD分别是梯形ABCD的上、下底,且AB=8,CD=12,EF是梯形的中位线,则EF=______. |
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