如图，在Rt△ABC中∠ABC=90°，斜边AC的垂直平分线交BC与D点，交AC于E点，连接BE．（1）若BE是△DEC的外接圆⊙O的切线，求∠C的大小；（2）

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如图，在Rt△ABC中∠ABC=90°，斜边AC的垂直平分线交BC与D点，交AC于E点，连

接BE．
（1）若BE是△DEC的外接圆⊙O的切线，求∠C的大小；
（2）当AB=1，BC=2时，求△DEC外接圆的半径．

答案

（1）∵DE垂直平分AC，
∴∠DEC=90°，
∴DC为△DEC外接圆的直径，
∴DC的中点O即为圆心；
连接OE，又知BE是圆O的切线，
∴∠EBO+∠BOE=90°；
在Rt△ABC中，E是斜边AC的中点，


∴BE=EC，
∴∠EBC=∠C；
又∵OE=OC，
∴∠BOE=2∠C，∠EBC+∠BOE=90°，
∴∠C+2∠C=90°，
∴∠C=30°．

（2）在Rt△ABC中，AC=

AB2+BC2

=

5

，
∴EC=

1

2

AC=

5

2

，
∵∠ABC=∠DEC=90°，∠C=∠C，
∴△ABC∽△DEC，
∴

AC

DC

=

BC

EC

，
∴DC=

5

4

，
∴△DEC外接圆半径为

5

8

．