把两个直角三角形如图(1)放置,使∠ACB与∠DCE重合,AB与DE相交于点O,其中∠DCE=90°,∠BAC=45°,AB=6cm,CE="5cm," CD=

把两个直角三角形如图(1)放置,使∠ACB与∠DCE重合,AB与DE相交于点O,其中∠DCE=90°,∠BAC=45°,AB=6cm,CE="5cm," CD=

题型:不详难度:来源:
把两个直角三角形如图(1)放置,使∠ACB与∠DCE重合,AB与DE相交于点O,其中∠DCE=90°,∠BAC=45°,AB=6cm,CE="5cm," CD=10cm.
(1)图1中线段AO的长=          cm;DO=         cm

图1
(2)如图2,把△DCE绕着点C逆时针旋转α度(0°<α<90°)得△D1CE1,D1C与AB相交于点F,若△BCE1恰好是以BC为底边的等腰三角形,求线段AF的长.
 
图2
答案
(1)AO=cm;DO=cm; (2).
解析

试题分析:(1)作,利用三角形相似来求出线段AO ,DO的长; 
(2)连接BE1 ,过点E1作E1G⊥BC于G, 过点F作FH⊥BC于H,根据三角形相似求出BF,即可得到答案.
试题解析:(1)如图,过点A作,

∵∠ACB与∠DCE重合,∠DCE=90°,∠BAC=45°,AB= ,
∴AC=BC=6,
∵∠DCE="90°,CE=5," CD=10.
∴ED= , BE=BC-CE=6-5=1,AD=CD-AC=10-6=4,

∴△AFC∽△DEC
 ,即AF= ,
 ,即EF=2,
∴BF=EF+BE=2+1=3,

∴△BOE∽△BAF
,即AO= 
,即OE= 
∴DO=DE-OE= 
(2) 连接BE1 ,过点E1作E1G⊥BC于G, 过点F作FH⊥BC于H,

∵△DCE绕着点C 逆时针旋转α度
∴∠E1CG=α,
∵△BCE1恰好是以BC为底边的等腰三角形,
∴E1G是线段BC的中垂线
∵E1C=5,BC=6
∴CG=BH=3,,
∵FH⊥BC,∠DCE=90°,∠BAC=45°,
∴BH=FH,令BH=FH=x,
则:CH=6-x
在△FHC与△CG E1
∵∠E1CG +∠FCH=∠FCH +∠CFH=90°,
∴∠E1CG =∠CFH,
∵∠FHC=∠CG E1=90°,
∴△FHC∽△CG E1,
 ,即: ,解得 ,
∴FH=,
∵∠FHB=90°,∠BAC=45°,
 
 .
举一反三
两个相似三角形周长的比是2:3,则它们的面积比是
A.2:3B.3:2C.4:9D.9:4

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如图,在△ABC中,D、E分别是AB、AC上的点,且DE∥BC,若AD=5,DB=3,DE=4,则BC等于
 
A.        B.     C.     D.
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如图,在中,,,.求证:

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理解与应用
小明在学习相似三角形时,在北京市义务教育课程改革实验教材第17册书,第37页遇到这样一道题:

如图1,在△ABC中,P是边AB上的一点,联结CP.
要使△ACP∽△ABC,还需要补充的一个条件是____________,或_________.
请回答:
(1)小明补充的条件是____________________,或_________________.
(2)请你参考上面的图形和结论,探究、解答下面的问题:
如图2,在△ABC中,∠A=60°,AC2= AB2+AB.BC.求∠B的度数.
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(1)如图1,在等边△ABC中,点M是边BC上的任意一点(不含端点B、C),联结AM,以AM为边作等边△AMN,联结CN.求证:∠ABC=∠ACN.

【类比探究】
(2)如图2,在等边△ABC中,点M是边BC延长线上的任意一点(不含端点C),其它条件不变,(1)中结论∠ABC=∠ACN还成立吗?请说明理由.

【拓展延伸】
(3)如图3,在等腰△ABC中,BA=BC,点M是边BC上的任意一点(不含端点B、C),联结AM,以AM为边作等腰△AMN,使顶角∠AMN=∠ABC.联结CN.试探究∠ABC与∠ACN的数量关系,并说明理由.

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