已知矩形纸片ABCD中，AB＝2，BC＝3．操作：将矩形纸片沿EF折叠，使点B落在边CD上．探究：（1）如图1，若点B与点D重合，你认为△EDA1和△FDC全等

题型：不详难度：来源：

已知矩形纸片ABCD中，AB＝2，BC＝3．
操作：将矩形纸片沿EF折叠，使点B落在边CD上．
探究：

（1）如图1，若点B与点D重合，你认为△EDA₁和△FDC全等吗？如果全等，请给出证明，如果不全等，请说明理由；
（2）如图2，若点B与CD的中点重合，请你判断△FCB₁、△B₁DG和△EA₁G之间的关系，如果全等，只需写出结果，如果相似，请写出结果，求出相应的相似比；
（3）如图2，请你探索，当点B落在CD边上何处，即B₁C的长度为多少时，△FCB₁与△B₁DG全等．

答案

（1）全等；（2）△B₁DG和△EA₁G全等，△FCB₁与△B₁DG相似，相似比为4：3；（3）B₁C=

解析

试题分析：（1）根据矩形的性质可得∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，AB=CD，即得∠A=∠A₁，∠B=∠A₁DF=90°，CD=A₁D，根据同角的余角相等可得∠A₁DE=∠CDF，即可证得结论；
（2）△B₁DG和△EA₁G全等证法同（1）；设FC=，则B₁F=BF=，B₁C=DC=1，根据勾股定理即可列方程求得x的值，从而求得△FCB₁与△B₁DG相似的相似比；
（3）设，则有，，在直角中，根据勾股定理列方程求解即可.
（1）全等．
∵四边形ABCD是矩形，
所以∠A=∠B=∠C=∠ADC=90°，AB=CD，
由题意知：∠A=∠A₁，∠B=∠A₁DF=90°，CD=A₁D，
所以∠A₁=∠C=90°，∠CDF+∠EDF=90°，
所以∠A₁DE=∠CDF，所以△EDA₁≌△FDC（ASA）；
（2）△B₁DG和△EA₁G全等．
△FCB₁与△B₁DG相似，设FC=，则B₁F=BF=，B₁C=DC=1，
所以，所以，
所以△FCB₁与△B₁DG相似，相似比为4：3；
（3）△FCB₁与△B₁DG全等．设，则有，，
在直角中，可得，
整理得，解得(另一解舍去)，
所以，当B₁C=时，△FCB₁与△B₁DG全等．
点评：此类问题难度较大，在中考中比较常见，一般在压轴题中出现，需特别注意.