试题分析:解:(1)证明:如图1,在矩形ABCD中,∠EAM=∠FDM=90°,∠AME=∠FMD.
∵M是AD的中点,∴AM=DM, ∴△AEM≌△DFM(ASA). ∴AE=DF. 2分 (2)证明:如图2,过点G作GH⊥AD于H,
∴∠A=∠B=∠AHG=90°, ∴四边ABGH为矩形, ∴∠AME+∠AEM=90°, ∵MG⊥EF, ∴∠GME=90°. ∴∠AME+∠GMH=90° ∴∠AEM=∠GMH. ∵AD=4,M是AD的中点 ∴AM=2 ∵四边ABGH为矩形, ∴AB=HG=2 ∴AM=HG ∴△AEM≌△HMG(AAS). ∴ME=MG. ∴∠EGM=45°. 由(1)得△AEM≌△DFM, ∴ME=MF. ∵MG⊥EF, ∴GE=GF. ∴∠EGF=2∠EGM=90°. ∴△GEF是等腰直角三角形. 5分 (3 )①当C、G重合时,如图4,
∵四边形ABCD是矩形, ∴∠A=∠ADC=90°, ∴∠AME+∠AEM=90°. ∵MG⊥EF, ∴∠EMG=90°. ∴∠AME+∠DMC=90°, ∴∠AEM=∠DMC, ∴△AEM∽△DMC ∴, ∴, ∴AE= 当E、B重合时,AE最长为, ∴<AE≤. 7分(注:此小问只需直接写出结果即可) ②如图3,△GEF是等边三角形.
证明:过点G作GH⊥AD交AD延长线于点H, ∵∠A=∠B=∠AHG=90°, ∴四边形ABGH是矩形. ∴GH=AB=2. ∵MG⊥EF, ∴∠GME=90°. ∴∠AME+∠GMH=90°. ∵∠AME+∠AEM=90°, ∴∠AEM=∠GMH. 又∵∠A=∠GHM=90°, ∴△AEM∽△HMG. ∴. 在Rt△GME中, ∴tan∠MEG==. ∴∠MEG=60°. 由(1)得△AEM≌△DFM. ∴ME=MF. ∵MG⊥EF, ∴GE=GF. ∴△GEF是等边三角形. 9分 点评:此题比较综合,四边形的相关性质和定理一般都由三角形性质和定理得来,故在解四边形时,通常会结合三角形的性质与定理帮助解题,难度适中。 |