如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AF、BE分别是∠DAB、∠CBA的平分线。（1）求证：DE=FC；（2）如果AD=3，AB=5，求EF的长。

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如图，已知四边形ABCD是平行四边形，AF、BE分别是∠DAB、∠CBA的平分线。
（1）求证：DE=FC；
（2）如果AD=3，AB=5，求EF的长。

答案

（1）见解析
（2）1．

解析

试题分析：（1）由AB∥CD，得∠DFA=∠FAB，再由角平分线的定义得出∠DAF=∠FAB，从而得出∠DAF=∠DFA，即DA=DF，同理得出CE=CB，由平行四边形的性质得出DF=EC进而得到DE=CF；
（2）由（1）可知AD=DF=CE=3，又EF=DF+EC-DC=2BC-DC，所以EF的值可求出．
点评：本题要求熟练掌握平行四边形的性质以及等腰三角形的性质、角平分线的性质，是基础知识要熟练掌握．

举一反三

如图，在等腰梯形ABCD中，AB=DC=5，AD=4，BC=10．点E在下底边BC上，点F在腰AB上．
（1）若EF平分等腰梯形ABCD的周长，设BE长为

，试用含

的代数式表示△BEF的面积；
（2）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时平分？若存在，求出此BE的长；若不存在，请说明理由；
（3）是否存在线段EF将等腰梯形ABCD的周长和面积同时分成1︰2的两部分？若存在，求此时BE的长；若不存在，请说明理由．

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△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D是BC的中点，把一个三角板的直角顶点放在点D处，将三角板绕点D旋转且使两条直角边分别交AB、AC于E、F .

（1）如图1，观察旋转过程，猜想线段AF与BE的数量关系并证明你的结论；
（2）如图2，若连接EF，试探索线段BE、EF、FC之间的数量关系，直接写出你的结论
（不需证明）；
（3）如图3，若将“AB=AC，点D是BC的中点”改为：“∠B=30°，AD⊥BC于点D”，其余条件不变，探索（1）中结论是否成立？若不成立，请探索关于AF、BE的比值.

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