已知AB=2,AD=4,∠DAB=90°,AD∥BC(如图).E是射线BC上的动点(点E与点B不重合),M是线段DE的中点.(1)设BE=x,△ABM的面积为y

已知AB=2,AD=4,∠DAB=90°,AD∥BC(如图).E是射线BC上的动点(点E与点B不重合),M是线段DE的中点.(1)设BE=x,△ABM的面积为y

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已知AB=2,AD=4,∠DAB=90°,AD∥BC(如图).E是射线BC上的动点(点E与点B不重合),M是线段DE的中点.

(1)设BE=x,△ABM的面积为y,求y关于x的函数解析式,并写出函数的定义域;
(2)如果以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切,求线段BE的长;
(3)联结BD,交线段AM于点N,如果以A、N、D为顶点的三角形与△BME相似,求线段BE的长.
答案
(1)取中点,联结
的中点,

,得
(2)由已知得
以线段AB为直径的圆与以线段DE为直径的圆外切,
,            
. 
解得,即线段的长为
(3)由已知,以为顶点的三角形与相似,
又易证得
由此可知,另一对对应角相等有两种情况:
;②
①当时,

,易得.得; 
②当时,

.又

,即,              

解得(舍去).即线段BE的长为2.   
综上所述,所求线段BE的长为8或2.
解析
(1)△ABM中,已知了AB的长,要求面积就必须求出M到AB的距离,如果连接AB的中点和M,那么这条线就是直角梯形的中位线也是三角形ABM的高,那么AB边上的高就是(AD+BE)的一半,然后根据三角形的面积公式即可得出y,x的函数关系式;
(2)根据以AB,DE为直径的圆外切,那么可得出的是AD+BC=AB+DE,那么可根据BE,AD的差和AB的长,用勾股定理来表示出DE,然后根据上面分析的等量关系得出关于x的方程,即可求出x的值,即BE的长;
(3)如果三角形ADN和BME相似,一定不相等的角是∠ADN和∠MBE,因为AD∥BC,如果两角相等,那么M与D重合,显然不合题意.因此本题分两种情况进行讨论:
①当∠ADN=∠BME时,∠DBE=∠BME,因此三角形BDE和MBE相似,可得出关于DE,BE,EM的比例关系式,即可求出x的值.
②当∠AND=∠BEM时,∠ADB=∠BEM,可根据这两个角的正切值求出x的值.
举一反三
将三角形纸片(△ ABC)按如图所示的方式折叠,使点B落在边AC上,记为点B′,折痕为EF.已知AB=AC=3,BC=4,若以点B′,F,C为顶点的三角形与△ ABC相似,那么BF的长度是 

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如图所示,已知:中,

(1)尺规作图:作的平分线于点(只保留作图痕迹,不写作法);
(2)在(1)所作图形中,将沿某条直线折叠,使点与点重合,折痕 交于点,交于点,连接,再展回到原图形,得到四边形
①试判断四边形AEDF的形状,并证明;
②若AC=8,CD=4,求四边形AEDF的周长和BD的长.
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如图,在△ABC中,EF//BC分别交边两 点,若AE=2,BE=4,则△AEF与 △ABC的面积比为 ___________.
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如图,已知AB∥CD,AD,BC相交于E,F为EC上一点,且∠EAF=∠C.

求证:(1) ∠EAF=∠B; (2)AF2=FE·FB
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如图甲,正方形ABCD的边长为2,点M是BC的中点,P是线段MC上的一个动点(不运动至M,C),以AB为直径作⊙O,过点P的切线交AD于点F,切点为E。

(1)求四边形CDFP的周长;(3分)
(2)请连结OF,OP,求证:OF⊥OP;(4分)
(3)延长DC,FP相交于点G,连结OE并延长交直线DC于H(如图乙).是否存在点P
使△EFO∽△EHG(其对应关系是                              )?如果存在,试求此时的BP的长;如果不存在,请说明理由。(5分)
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