如图甲,正方形ABCD的边长为2,点M是BC的中点,P是线段MC上的一个动点(不运动至M,C),以AB为直径作⊙O,过点P的切线交AD于点F,切点为E。(1)求
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如图甲,正方形ABCD的边长为2,点M是BC的中点,P是线段MC上的一个动点(不运动至M,C),以AB为直径作⊙O,过点P的切线交AD于点F,切点为E。(1)求
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如图甲,正方形ABCD的边长为2,点M是BC的中点,P是线段MC上的一个动点(不运动至M,C),以AB为直径作⊙O,过点P的切线交AD于点F,切点为E。
(1)求四边形CDFP的周长;(3分)
(2)请连结OF,OP,求证:OF⊥OP;(4分)
(3)延长DC,FP相交于点G,连结OE并延长交直线DC于H(如图乙).是否存在点P
使△EFO∽△EHG(其对应关系是 )?如果存在,试求此时的BP的长;如果不存在,请说明理由。(5分)
答案
(1)6(2)证明见解析(3)存在,
解析
解:(1)∵四边形ABCD是正方形 ∴∠A=∠B=Rt∠ ∴AF、BP都是⊙O的切线 (1分)
又∵PF是⊙O的切线 ∴EF=FA,PE=PB ∴四边形CDFP的周长为AD+DC+CB=2×3="6" (3分)
(2)∴连结OE,∵PF是⊙O的切线 ∴OE⊥PF .
在Rt⊿AOF和Rt⊿EOF中∵AO=EO,OF=OF ∴Rt⊿AOF∽Rt⊿EOF∴∠AOF=∠EOF(5分)
同理∠BOP=∠EOP ∴∠EOF+∠EOP=1/2×180°=90°∴∠EOP=90°即OF⊥OP (7分)
(3)存在(如果这一步不写,但下面各步骤都正确,不扣分) (8分)
∵∠EOF=∠AOF ∴∠EHG=∠AOE=2∠EOF,
∴当∠EHG=∠AOE=2∠EOF,即∠EOF=30°时 Rt⊿EOF∽Rt⊿EHG (10分)
此时∠EOF=30°,∠BOP=∠EOP=90°-30°=60°
∴BP=OB·tan60°=
(12分)
(1)根据切线的性质,将所求四边形CDFP的边转化为已知正方形ABCD的边,即可求得;
(2)连结OE,根据切线的性质和相似三角形,求得∠EOP=90°,即可求得OF⊥OP;
(3)要△EFO∽△EHG,必须∠EHG=∠EFO=2∠EOF=60°,在直角△OBP中,由正切定理可求出BP的长.
举一反三
如图,在4×4的正方形方格中,△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.
(1)填空:∠ABC=
°,BC=
;
(2)判断△ABC与△DEF是否相似,并证明你的结论.
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图中
.
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以
为斜边作等腰直角三角形
,再以
为斜边在
外侧作等腰直角三角形
,如此继续,得到8个等腰直角三角形(如图),则图中
与
的面积比值是( )
A.32
B.64
C.128
D.256
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如图,在矩形ABCD中,点E、F分别在边AD、DC上,△ABE∽△DEF,AB=6,AE=9,DE=2,求EF的长.
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已知:如图,
,
,以
为位似中心,按比例尺
,把
缩小,则点
的对应点
的坐标为( )
A.
或
B.
或
C.
D.
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