如图,已知AB∥CD,AD,BC相交于E,F为EC上一点,且∠EAF=∠C.求证：(1) ∠EAF=∠B； (2)AF2=FE·FB

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如图,已知AB∥CD,AD,BC相交于E,F为EC上一点,且∠EAF=∠C.

求证：(1) ∠EAF=∠B； (2)AF²=FE·FB

答案

证明见解析

解析

(1)∵AB∥CD,∴∠B=∠C (2分) 又∵∠EAF=∠C,∴∠EAF=∠B (4分)
(2)在⊿AFB与⊿EFA中,∵∠EAF=∠B,∠AFB=∠EFA,∴⊿AFB=∽⊿EFA (6分)
∴

,即AF²=FE·FB (8分)
（1）欲证∠EAF=∠B，通过AB∥CD及已知发现它们都与∠C相等，等量转换即可；
（2）欲证AF²=FE•FB，可证△AFB∽△EFA得出．

举一反三

如图甲,正方形ABCD的边长为2,点M是BC的中点,P是线段MC上的一个动点(不运动至M,C),以AB为直径作⊙O,过点P的切线交AD于点F,切点为E。

(1)求四边形CDFP的周长；(3分)
(2)请连结OF,OP,求证：OF⊥OP；(4分)

(3)延长DC,FP相交于点G,连结OE并延长交直线DC于H(如图乙).是否存在点P
使△EFO∽△EHG(其对应关系是 )?如果存在,试求此时的BP的长；如果不存在,请说明理由。(5分)

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如图，在4×4的正方形方格中，△ABC和△DEF的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上.

（1）填空：∠ABC= °，BC= ；
（2）判断△ABC与△DEF是否相似，并证明你的结论.

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图中

．

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以

为斜边作等腰直角三角形

，再以

为斜边在

外侧作等腰直角三角形

，如此继续，得到8个等腰直角三角形（如图），则图中

与

的面积比值是（）

A．32

B．64

C．128

D．256

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如图，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB=6，AE=9，DE=2，求EF的长.

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