△ABC是一块等边三角形的废铁片,利用其剪裁一个正方形DEFG,使正方形的一条边DE落在BC上,顶点F、G分别落在AC、AB上.(1) 证明:△BDG≌△CEF
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△ABC是一块等边三角形的废铁片,利用其剪裁一个正方形DEFG,使正方形的一条边DE落在BC上,顶点F、G分别落在AC、AB上. (1) 证明:△BDG≌△CEF; (2) 设△ABC的边长为2,请你帮小聪求出正方形的边长.(结果精确到十分位) (3) 小颖想:不求正方形的边长我也能画出正方形.具体作法是:如图3 ①在AB边上任取一点G′,如图作正方形G′D′E′F′; ②连接BF′并延长交AC于F; ③作FE∥F′E′交BC于E,FG∥F′G′交AB于G,GD∥G′D′交BC于D,则四边形DEFG即为所求.你认为小颖的作法正确吗?请说明理由. |
答案
(1)证明:∵DEFG为正方形 ∴GD=FE,∠GDB=∠FEC=90° ∵△ABC是等边三角形 ∴∠B=∠C=60° ∴△BDG≌△CEF(AAS) (2)设正方形的边长为x,作△ABC的高AN,交BC于点N,交GF于点M
∵AN为等边△ABC的高,AB=2 ∴AN=,AM=- ∵△AGF∽△ABC ∴ ∴ ∴ ∴正方形的边长约为0.9 (3)正确 理由如下: 由已知可知,四边形GDEF为矩形 ∵FE∥ ∴ 同理 ∴ 又∵ ∴FE=FG ∴矩形GDEF为正方形 |
解析
(1)根据正方形的性质可以得到GD=FE,∠GDB=∠FEC=90°,利用等边三角形得到∠B=∠C=60°,然后利用全等三角形的判定定理就可以证明了; (2).设正方形的边长为x,作△ABC的高AH,可以求出AH的长,然后根据△AGF∽△ABC利用其对应边成比例;可以列出关于x的方程,然后求出x,也就求出了正方形的边长; (3).首先作一个正方形,然后利用位似图形作图就可以得到正方形DEFG,利用作法中的平行线可以得到比例线段,再根据比例线段就可以证明所作的图形是正方形了. |
举一反三
如图,△ABC是边长为6的等边三角形,AD=2,AE∥BC,直线BD交AE于点E,则BE的长为( ) |
下列命题是真命题的是( )A.相等的角是对顶角 | B.两直线被第三条直线所截,内错角相等 | C.若 | D.所有的等边三角形都相似 |
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在相同时刻的物高与影长成比例,如果高为1.5米的测竿的影长为3米,那么影长为30米的旗杆的高是 ( ) |
已知△ABC∽△DEF,如果∠A=55º,∠B=100º,则∠F=( ) |
如图,在直角坐标系中有两点A(4,0)、B(0,2),如果点C在x轴上(C与A不重合),由B、O、C组成的三角形与ΔAOB相似,下列满足条件的点C是( ) A.(3,0) B.(2,0) C.(1,0) D(-2,0) |
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