如图,点A.F、C.D在同一直线上,点B和点E分别在直线AD的两侧,且AB=DE,∠A=∠D,AF=DC.(1)求证:四边形BCEF是平行四边形,(2)若∠AB
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如图,点A.F、C.D在同一直线上,点B和点E分别在直线AD的两侧,且 AB=DE,∠A=∠D,AF=DC. (1)求证:四边形BCEF是平行四边形, (2)若∠ABC=90°,AB=4,BC=3,当AF为何值时,四边形BCEF是菱形. |
答案
(1)证明:∵AF=DC,∴AF+FC=DC+FC,即AC=DF。 ∵在△ABC和△DEF中,AC=DF,∠A=∠D,AB=DE, ∴△ABC≌DEF(SAS)。∴BC=EF,∠ACB=∠DFE,∴BC∥EF。 ∴四边形BCEF是平行四边形. (2)解:连接BE,交CF与点G,
∵四边形BCEF是平行四边形, ∴当BE⊥CF时,四边形BCEF是菱形。 ∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3, ∴AC=。 ∵∠BGC=∠ABC=90°,∠ACB=∠BCG,∴△ABC∽△BGC。 ∴,即。∴。 ∵FG=CG,∴FC=2CG=, ∴AF=AC﹣FC=5﹣。 ∴当AF=时,四边形BCEF是菱形. |
解析
(1)由AB=DE,∠A=∠D,AF=DC,根据SAS得△ABC≌DEF,即可得BC=EF,且BC∥EF,即可判定四边形BCEF是平行四边形。 (2)由四边形BCEF是平行四边形,可得当BE⊥CF时,四边形BCEF是菱形,所以连接BE,交CF与点G,证得△ABC∽△BGC,由相似三角形的对应边成比例,即可求得AF的值。 |
举一反三
在△ABC中,点D、E分别在AB、AC上,∠AED=∠B,如果AE=2,△ADE的面积为4,四边形BCDE的面积为5,那么AB的长为 . |
己知:如图,在菱形ABCD中,点E、F分别在边BC、CD,∠BAF=∠DAE,AE与BD交于点G.
(1)求证:BE=DF; (2)当时,求证:四边形BEFG是平行四边形. |
矩形ABCD中,AB=2AD,E为AD的中点,EF⊥EC交AB于点F,连接FC.
(1)求证:⊿AEF∽⊿DCE (2)求tan∠ECF的值. |
如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BA=BC.点D是AB的中点,连接CD,过点B作BG丄CD,分别交GD、CA于点E、F,与过点A且垂直于的直线相交于点G,连接DF. 给出以下四个结论: ①;②点F是GE的中点;③AF=AB;④S△ABC=5S△BDF,其中正确的结论序号是 ▲ . |
将△ABC绕点A按逆时针方向旋转θ度,并使各边长变为原来的n倍,得△AB′C′,即如图①,我们将这种变换记为[θ,n].
(1)如图①,对△ABC作变换[60°,]得△AB′C′,则S△AB′C′:S△ABC= ;直线BC与直线B′C′所夹的锐角为 度; (2)如图②,△ABC中,∠BAC=30°,∠ACB=90°,对△ABC 作变换[θ,n]得△AB"C",使点B、C、C′在同一直线上,且四边形ABB"C"为矩形,求θ和n的值; (3)如图③,△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,BC=l,对△ABC作变换[θ,n]得△AB′C′,使点B、C、B′在同一直线上,且四边形ABB"C"为平行四边形,求θ和n的值. |
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