如图，C为以AB为直径的⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为点D．（1）求证：AC平分∠BAD；（2）若CD3，AC=3，求⊙O的半径长．

题型：不详难度：来源：

如图，C为以AB为直径的⊙O上一点，AD和过点C的切线互相垂直，垂足为点D．

（1）求证：AC平分∠BAD；
（2）若CD3，AC=3，求⊙O的半径长．

答案

（1）证明：连结OC（如图所示） 
则∠ACO=∠CAO （等腰三角形，两底角相等）
∵CD切⊙O于C，∴CO⊥CD.
又∵AD⊥CD
∴AD∥CO
∴∠DAC=∠ACO （两直线平行，内错角相等）
∴∠DAC=∠CAO
∴AC平分∠BAD                   ----------------5分
（2）过点E画OE⊥AC于E（如图所示）
在Rt△ADC中，AD==6 
∵OE⊥AC，  ∴AE=AC=
∵ ∠CAO=∠DAC，∠AEO=∠ADC=Rt∠
∴△AEO∽△ADC
∴  即
∴AO=  即⊙O的半径为.      ----------------5分

解析

（1）连接OC，根据切线与圆的关系和直角三角形内角之间的关系，可以推出AC平分∠DAB；
（2）作OE⊥AC，根据勾股定理，利用相似三角形即可得出圆的半径