如图,在平面坐标系中,点A、点B分别在x轴、y轴的正半轴上,且OA=OB,另有两点C(a,b)和D(b,-a)(a、b均大于0);(1)连接OD、CD,求证:∠
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如图,在平面坐标系中,点A、点B分别在x轴、y轴的正半轴上,且OA=OB,另有两点C(a,b)和D(b,-a)(a、b均大于0);(1)连接OD、CD,求证:∠
题型:不详
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来源:
如图,在平面坐标系中,点A、点B分别在x轴、y轴的正半轴上,且OA=OB,另有两点C(a,b)和D(b,-a)(a、b均大于0);
(1)连接OD、CD,求证:∠ODC=45
0
;
(2)连接CO、CB、CA,若CB=1,C0=2,CA=3,求∠OCB的度数;
(3)若a=b,在线段OA上有一点E,且AE=3,CE=5,AC=7,求⊿OCA 的面积。
答案
(1)证明见解析;(2)135°;(3)
.
解析
试题分析:(1)过C点、D点向x轴、y轴作垂线,运用勾股定理计算,结合全等可证;
(2)连接DA,证△OCB≌△ODA(SAS),可得AD=CB=1,而OC=OD=2,故CD=2
,根据勾股定理逆定理可证∠ADC=90°,易得∠OCB=∠ODA=135°;
(3)作CF⊥OA,F为垂足,有CF
2
=CE
2
-EF
2
,CF
2
=CA
2
-AF
2
=CA
2
-(AE+EF)
2
,设EF=x,列出关于x的方程,求得x=
,再在Rt△CEF中,根据勾股定理求得CF=
,然后由三角形的面积公式即可求解.
试题解析:(1)证明:过C点、D点向x轴、y轴作垂线,垂足分别为M、N.
∵C(a,b),D(b,-a)(a、b均大于0),
∴OM=ON=a,CM=DN=b,
∴△OCM≌△ODN(SAS),
∴∠COM=∠DON.
∵∠DON+∠MOD=90°,
∴∠COM+∠MOD=90°,
∵OC=OD=
,
∴△COD是等腰直角三角形,
∴∠ODC=45°;
(2)连接DA.
在△OCB与△ODA中,
,
∴△OCB≌△ODA(SAS),
∴AD=CB=1,∠OCB=∠ODA.
∵OC=OD=2,
∴CD=2
.
∵AD
2
+CD
2
=1+8=9,AC
2
=9,
∴AD
2
+CD
2
=AC
2
,
∴∠ADC=90°,
∴∠OCB=∠ODA=90°+45°=135°;
(3)作CF⊥OA,F为垂足,由勾股定理得
CF
2
=CE
2
-EF
2
,CF
2
=CA
2
-AF
2
=CA
2
-(AE+EF)
2
,
设EF=x,可得5
2
-x
2
=7
2
-(3+x)
2
,
解得x=
.
在Rt△CEF中,得CF=
,
∴OF=CF=
,
∴△OCA的面积=
•OA•CF=
=
.
考点: 1.勾股定理;2.全等三角形的判定与性质.
举一反三
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(2)若点N在(1)中的⊙P′上,求PN的长.
题型:不详
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如图,△ABC与A′B′C′关于直线l对称,则∠B的度数为( )
A.50°
B.30°
C.100°
D.90°
题型:不详
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A.3
B.2
C.2
D.2
题型:不详
难度:
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B.5cm,7cm,13cm
C.7cm,10cm,13cm
D.5cm,10cm,13cm
题型:不详
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_____
度.
题型:不详
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