已知,在△ABC中,∠BAC=90°,∠ABC=45°,点D为直线BC上一动点(点D不与点B,C重合).以AD为边做正方形ADEF,连接CF(1)如图1,当点D
题型:不详难度:来源:
已知,在△ABC中,∠BAC=90°,∠ABC=45°,点D为直线BC上一动点(点D不与点B,C重合).以AD为边做正方形ADEF,连接CF
(1)如图1,当点D在线段BC上时.求证CF+CD=BC; (2)如图2,当点D在线段BC的延长线上时,其他条件不变,请直接写出CF,BC,CD三条线段之间的关系; (3)如图3,当点D在线段BC的反向延长线上时,且点A,F分别在直线BC的两侧,其他条件不变; ①请直接写出CF,BC,CD三条线段之间的关系; ②若正方形ADEF的边长为,对角线AE,DF相交于点O,连接OC.求OC的长度. |
答案
解:(1)证明:∵∠BAC=90°,∠ABC=45°,∴∠ACB=∠ABC=45°。∴AB=AC。 ∵四边形ADEF是正方形,∴AD=AF,∠DAF=90°。 ∵∠BAD=90°﹣∠DAC,∠CAF=90°﹣∠DAC,∴∠BAD=∠CAF。 ∵在△BAD和△CAF中,AB=AC,∠BAD=∠CAF,AD=AF, ∴△BAD≌△CAF(SAS)。∴BD=CF。 ∵BD+CD=BC,∴CF+CD=BC。 (2)CF﹣CD=BC。 (3)①CD﹣CF=BC。 ②∵∠BAC=90°,∠ABC=45°,∴∠ACB=∠ABC=45°。∴AB=AC。 ∵四边形ADEF是正方形,∴AD=AF,∠DAF=90°。 ∵∠BAD=90°﹣∠BAF,∠CAF=90°﹣∠BAF,∴∠BAD=∠CAF。 ∵在△BAD和△CAF中,AB=AC,∠BAD=∠CAF,AD=AF, ∴△BAD≌△CAF(SAS)。∴∠ACF=∠ABD。 ∵∠ABC=45°,∴∠ABD=135°。∴∠ACF=∠ABD=135°。∴∠FCD=90°。 ∴△FCD是直角三角形。 ∵正方形ADEF的边长为且对角线AE、DF相交于点O, ∴DF=AD=4,O为DF中点。 ∴OC=DF=2。 |
解析
试题分析:(1)三角形ABC是等腰直角三角形,利用SAS即可证明△BAD≌△CAF,从而证得CF=BD,据此即可证得。 (2)同(1)相同,利用SAS即可证得△BAD≌△CAF,从而证得BD=CF,即可得到CF﹣CD=BC。 (3)①同(1)相同,利用SAS即可证得△BAD≌△CAF,从而证得BD=CF,即可得到CD﹣CF=BC。 ②证明△BAD≌△CAF,△FCD是直角三角形,然后根据正方形的性质即可求得DF的长,则OC即可求得。 |
举一反三
如图,在△ABC中∠A=60°,BM⊥AC于点M,CN⊥AB于点N,P为BC边的中点,连接PM,PN,则下列结论:①PM=PN;②;③△PMN为等边三角形;④当∠ABC=45°时,BN=PC.其中正确的个数是
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 |
在锐角三角形ABC中,AH是BC边上的高,分别以AB、AC为一边,向外作正方形ABDE和ACFG,连接CE、BG和EG,EG与HA的延长线交于点M,下列结论:①BG="CE" ②BG⊥CE ③AM是△AEG的中线 ④∠EAM=∠ABC,其中正确结论的个数是
A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 |
已知等腰三角形ABC中,∠ACB=90°,点E在AC边的延长线上,且∠DEC=45°,点M、N分别是DE、AE的中点,连接MN交直线BE于点F.当点D在CB边上时,如图1所示,易证MF+FN=BE
(1)当点D在CB边上时,如图2所示,上述结论是否成立?若成立,请给与证明;若不成立,请写出你的猜想,并说明理由. (2)当点D在BC边的延长线上时,如图3所示,请直接写出你的结论.(不需要证明) |
正三角形△ABC的边长为3,依次在边AB、BC、CA上取点A1、B1、C1,使AA1=BB1=CC1=1,则△A1B1C1的面积是 A. B. C. D. |
如图,AB=AE,∠1=∠2,∠C=∠D. 求证:△ABC≌△AED.
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