如图,在某小区的休闲广场有一个正方形花园ABCD,为了便于观赏,要在AD、BC之间修一条小路,在AB、DC之间修另一条小路,使这两条小路等长.设计师给出了以下几
题型:不详难度:来源:
如图,在某小区的休闲广场有一个正方形花园ABCD,为了便于观赏,要在AD、BC之间修一条小路,在AB、DC之间修另一条小路,使这两条小路等长.设计师给出了以下几种设计方案: ①如图1,E是AD上一点,过A作BE的垂线,交BE于点O,交CD于点H,则线段AH、BE为等长的小路;
②如图2,E是AD上一点,过BE上一点O作BE的垂线,交AB于点G,交CD于点H,则线段GH、BE为等长的小路;
③如图3,过正方形ABCD内任意一点O作两条互相垂直的直线,分别交AD、BC于点E、F,交AB、CD于点G、H,则线段GH、EF为等长的小路;
根据以上设计方案,解答下列问题: (1)你认为以上三种设计方案都符合要求吗? (2)要根据图1完成证明,需要证明△ ≌△ ,进而得到线段 = ; (3)如图4,在正方形ABCD外面已经有一条夹在直线AD、BC之间长为EF的小路,想在直线AB、DC之间修一条和EF等长的小路,并且使这条小路的延长线过EF上的点O,请画草图(加以论述),并给出详细的证明.
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答案
(1)符合要求 (2)ABE DAH BE AH (3)见解析 |
解析
试题分析:(1)通过证明三角形全等,由全等三角形的对应边相等可以判断以上三种设计方案都符合要求; (2)在图1中,先由正方形的性质得出∠BAE=∠ADH=90°,AB=AD,根据同角的余角相等得出∠ABE=∠DAH,再利用ASA证明△ABE≌△DAH,进而由全等三角形的对应边相等即可得出BE=AH; (3)先过点O作EF的垂线,分别交AB、DC的延长线于点G、H,则线段GH、EF为等长的小路.再进行证明:过点H作HN⊥AB交AB的延长线于点P,过点E作EP⊥BC交BC的延长线于点P,利用AAS证明△GHN≌△FEP,即可得出GH=EF. 解:(1)以上三种设计方案都符合要求; (2)如图1,∵四边形ABCD是正方形, ∴∠BAE=∠ADH=90°,AB=AD, 又∵BE⊥AH, ∴∠ABE=∠DAH=90°﹣∠BAH. 在△ABE与△DAH中, , ∴△ABE≌△DAH(ASA), ∴BE=AH; (3)如图,过点O作EF的垂线,分别交AB、DC的延长线于点G、H,则线段GH为所求小路.理由如下: 过点H作HN⊥AG于N,过点E作EP⊥BC交BC的延长线于点P,则∠GNH=∠FPE=90°. ∵AB∥CD,HN⊥AB,CB⊥AB, ∴NH=BC, 同理,EP=DC. ∵BC=DC,∴NH=EP. ∵GO⊥EF,∴∠MFO+∠FMO=90°, ∵∠BGM+∠GMB=90°,∠FMO=∠GMB, ∴∠BGM=∠MFO. 在△GHN与△FEP中, , ∴△GHN≌△FEP(AAS), ∴GH=EF. 故答案为:ABE,DAH,BE,AH.
点评:本题考查了数学知识在实际生活中的应用,其中涉及到正方形的性质,余角的性质,全等三角形的判定与性质,难度不大.体现了数学知识来源于生活,并且为生活服务,能够激发同学们学习数学的热情. |
举一反三
如图,∠A=50°∠ABC=60°. (1)若BD为∠ABC平分线,求∠BDC. (2)若CE为∠ACB平分线且交BD于E,求∠BEC.
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如图,△ABC中,AB=AC,BD是AC边上的中线,BD把原三角形的周长分为15cm和9cm两部分,则腰AB的长为 cm.
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如图,已知△ABC≌△CDA,∠BAC=60°,∠DAC=23°,则∠D= .
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已知△ABC的边长分别为a,b,c,化简|a+b﹣c|﹣|b﹣a﹣c|的结果是( ) |
在各个内角都相等的多边形中,一个外角等于一个内角的,求这个多边形每一个内角的度数和它的边数. |
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