如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,将△ABC绕点C逆时针旋转角α.(0°<α<90°)得到△,连接.设交AB于D,分别交AB、AC于E、F.(1)
题型:不详难度:来源:
如图,△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,将△ABC绕点C逆时针旋转角α.(0°<α<90°)得到△,连接.设交AB于D,分别交AB、AC于E、F. (1)在图中不再添加其它任何线段的情况下,请你找出一对全等的三角形,并加以说明(△ABC与△全等除外); (2)当△是等腰三角形时,求α; |
答案
解:(1)全等的三角形有:△CBD≌△CA1F或△AEF≌△B1ED或△ACD≌△B1CF等; 以说明△CBD≌△CA1F为例: 理由:∵∠ACB1+∠A1CF=∠ACB1+∠BCD=90° ∴∠A1CF=∠BCD ∵A1C=BC ∴∠A1=∠CBD=45° ∴△CBD≌△CA1F; (2)在△CBB1中 ∵CB=CB1 ∴∠CBB1=∠CB1B=1/2(180°-α) 又△ABC是等腰直角三角形 ∴∠ABC=45° ①若B1B=B1D,则∠B1DB=∠B1BD ∵∠B1DB=45°+α ∠B1BD=∠CBB1-45°=1/2(180°-α)-45°=45°-1/2α ∴45°+α=45°-α ∴α=0°(舍去); ②∵∠BB1C=∠B1BC>∠B1BD,∴BD>B1D,即BD≠B1D; ③若BB1=BD,则∠BDB1=∠BB1D,即45°+α=1/2(180°-α),α=30° 由①②③可知,当△BB1D为等腰三角形时,α=30°; |
解析
(1)依据全等三角形的判定,可找出全等的三角形有:△CBD≌△CA1F或△AEF≌△B1ED或△ACD≌△B1CF等.由旋转的意义可证∠A1CF=∠BCD,A1C=BC,∠A1=∠CBD=45°,所以△CBD≌△CA1F.(2)当△BBD是等腰三角形时,要分别讨论B1B=B1D、BB1=BD、B1D=DB三种情况,第一,三种情况不成立,只有第二种情况成立,求得α=30°. |
举一反三
如图,在等腰直角三角形ABC中,AD为斜边上的高,以D为端点任作两条垂直的射线与两腰相交于E,F两点,连接EF与AD相交于G,若∠AED=110°则∠AGF= 。 |
已知三点A、B、C,用直尺和圆规作⊙O,使⊙O过点A、B、C。(不写作法,保留痕迹)(6′) |
如图,△ABC的周长为30cm,把△ABC的边AC对折,使顶点C和点A重合,折痕交BC边于点D,交AC边于点E,连接AD,若AE=4cm,则△ABD的周长是( )A.22cm | B.20 cm | C.18cm | D.15cm |
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如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AC=2AB,点D是AC的中点,将一块锐角为45°的直角三角板如图放置,使三角板斜边的两个端点分别与A、D重合,连结BE、EC.试猜想线段BE和EC的数量及位置关系,并证明你的猜想.
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命题“对顶角相等”的题设是____________,结论________________________. |
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