已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，CE与BD相交于点G，GH⊥BC于H. 求证：BH=CH。

题型：不详难度：来源：

已知：如图，在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，CE与BD相交于点G，GH⊥BC于H. 求证：BH=CH。

答案

证明：方法一：∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB             
∵BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，
∴∠ABC+∠BCE=90º，∠ACB+∠CBD=90º               
∴∠BCE=∠CBD          
∴BG=CG          
∵GH⊥BC于H
∴BH=CH.         
方法二：∵CE⊥AB于E，BD⊥AC于D，

∴∠1＝90º＝∠2      
在△AEC和△ADB中

∴△AEC≌△ADB (AAS）
∴∠3=∠4           
∵AB=AC   ∴∠ABC=∠ACB
∴∠ABC－∠3=∠ACB－∠4
即∠5=∠6        
∴BG=CG    
∵GH⊥BC于H    ∴BH="CH."    

解析

方法一：先根据等边对等角得到∠ABC=∠ACB，再根据三角形内角和得到∠BCE=∠CBD，从而BG=CG，再有GH⊥BC，根据等腰三角形“三线合一”可得BH=CH.
方法二：先由AAS证得△AEC≌△ADB，得到∠3=∠4，再由AB=AC据等边对等角得到∠ABC=∠ACB，从而∠5=∠6，所以BG=CG，再有GH⊥BC，根据等腰三角形“三线合一”可得BH=CH.