要想证明△ABC是直角三角形,只需证明∠ACB=∠CAD=∠CDB=90°即可. 解:①在△ACD中,∠CAD+∠ACD=90°.
∵∠ACD=∠B, ∴∠CAD+∠B=90°, ∴在△ACB中,∠ACB=180°-∠CAD+∠B=90°, ∴△ABC是直角三角形; 故本选项正确; ②∵∠A:∠B:∠C=4:3:5,∠A+∠B+∠C=180°(三角形的内角和是180°), ∴∠A=60°,∠B=45°,∠C=75°, ∴△ABC不是直角三角形; 故本选项错误; ③∵S△ABC=AC.BCsinC=A B.CD=AC.BC, ∴sinC=1,故∠C=90°, 故③正确; ④在△CDB与△ADC中,, ∠BDC=∠ADC=90°, ∴△CDB∽△ACD(SAS), ∴∠ACD=∠B, ∴∠CAD+∠B=90°, ∴在△ACB中,∠ACB=180°-∠CAD+∠B=90°, ∴△ABC是直角三角形; 故本选项正确; 综上所述,正确的是①③④. 故答案为:①③④. |