如图10-1,在△A B B′和△A C C′中,∠B A B′=∠C A C′=m°,AC=AC",AB=AB".(1)不添加辅助线的前提下,请写出图中满足旋
题型:不详难度:来源:
如图10-1,在△A B B′和△A C C′中,∠B A B′=∠C A C′=m°,AC=AC",AB=AB". (1)不添加辅助线的前提下,请写出图中满足旋转变换的两个三角形分别是:;旋转角度是°; (2)线段BC、B"C"的数量关系是:;试求出BC、B"C"所在直线的夹角:; (3)随着△ACC"绕点A的旋转,(2)的结论是否依然成立?请从图10-2、图10-3中任选一个证明你的结论; (4)利用解决上述问题所获得的经验探索下面的问题:如图10-4,等边△ABC外一点D,且∠BDC=60°,连接AD,试探索线段AD、CD、BD的数量关系.
答案
(1)△A B C和△A B′ C′;旋转角度是m° (2)线段BC=B"C", BC、B"C"所在直线的夹角:m°或(180- m )° (3)成立,证明略。 (4)BD=" MD" + BM =AD+DC,证明略。
解析
(1) △A B C和△A B′ C′;旋转角度是m°; ……………………2分 (2) 线段BC=B"C", BC、B"C"所在直线的夹角:m°或(180- m )°;………………3分
(3)成立 图10-2、在△A B C和△A B′ C′中, ∠B A B′=∠C A C′=m°,AC=AC",AB=AB" ∠B A C =∠B A B′+∠C′A B, ∠B′ A C′=∠C A C′+∠C′A B 即∠B A C=∠B′ A C′ ……………………4分 A B′ C′ ……………………5分 ∴BC=B"C" ……………………6分 延长B"C"交BCG于点M,设AB与B′ C′交于点O ∵∠CBA =∠ C"B′A, ∠MOB =∠AOB′ ……………………7分 ∴∠BM C′=∠BA B′="m° " ……………………8分 (4)方法一: BD=AD+DC 如图10-4,在BD上截取BM=CD,连结AM ……………………9分 ∵等边△ABC, ∴∠BAC=∠BDC=60° 又∠BOA=∠DOC, ∴∠ ABM=∠ACD ∵AB=AC ∴ ……………………11分 ∴BM=DC,AM=AD,∠BAM=∠CAD ∴∠BAC=∠MAD=60° ∴△AMD为等边三角形 ∴MD=AD ∴BD=" MD" + BM ="AD+DC " ……………………12分 方法二:如图10-5,在BD上截取DM=DC,先证明△CMD为等边三角形,再证明△ADC≌△BMC; 方法三:如图10-6,延长DC至M,使得DM=DB,先证明△BMD为等边三角形,再证明△BDC≌△BMC; 仿照方法一给分.