正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当点M在BC上运动时，保持AM和MN垂直，  (1)证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；(2)设BM

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正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当点M在BC上运动时，保持AM和MN垂直，  
(1)证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；
(2)设BM =x，梯形ABCN的面积为y求y与x之间的函数关系式；当点M运动到什么位     置时，四边形ABCN的面积最大，并求出最大面积； 
 (3)当点M运动到什么位置时Rt△ABM∽Rt△AMN，求此时x的值

答案

解：(1)在正方形ABCD中，AB ＝BC＝ CD ＝4，∠B= ∠C =90°，   
∵AM⊥MN
∴∠AMN= 90°.   
 ∴∠CMN＋∠AMB= 90°．  
  在Rt△ABM中，∠MAB＋∠AMB＝90°，
 ∴∠CMN＝∠MAB．   
∴Rt△AMN∽Rt△MCN;   
 (2)∵Rt△ABM∽Rt△MCN，
∴
∴
∴
∴

当x=2时，y取最大值，最大值为10；故当点肘运动到BC的中点时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为10；    
(3)∵∠B＝∠AMN= 90°，
∴要使Rt△ABM∽Rt△AMN，必须
有
由（1）知
∴BM=MC
∴当点M运动到BC的中点时，Rt△ABM∽Rt△AMN，此时x=2