如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,DF⊥AB,交AC于E,交BC的延长线于点F. (1)求证:∠A=∠F; (2)△CDE与△FDC是否相似?并给

如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,DF⊥AB,交AC于E,交BC的延长线于点F. (1)求证:∠A=∠F; (2)△CDE与△FDC是否相似?并给

题型:四川省期末题难度:来源:
如图,在Rt△ABC中,CD是斜边AB上的中线,DF⊥AB,交AC于E,交BC的延长线于点F.
(1)求证:∠A=∠F;
(2)△CDE与△FDC是否相似?并给予证明.
答案
解:(1)证明:∵∠ACB=90°,
∴∠A+∠B=90°,
∵DF⊥AB,
∴∠BDF=90°,
即∠B+∠F=90°,
∴∠A=∠F;
(2)解:△CDE∽△FDC.
理由是:∵CD是斜边AB上的中线,
∴AD=CD,
∴∠A=∠DCE,
∵∠DEC=∠A+∠ADE,∠DCF=∠DCE+∠ECF,
∴∠CED=∠FCD,
∴△CDE∽△FDC.
举一反三
如图,边长为1的正方形格纸中,△ABC是一个格点三角形(在方格纸中,小正方形的顶点称格点,以格点连线为边的三角形叫做格点三角形).
(1)在图(1)的方格纸中,画出一个与△ABC相似但不全等的△A′B′C′;
(2)在图(2)中,以线段EF为边画格点三角形,其中能够与△ABC相似的有_________(不要证明)
(3)在图(2)的方格纸中,以线段EF为边,画出一个与△ABC相似的格点三角形_________EFM,并证明.
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如图,D是BC上的点,∠ADC=∠BAC,AC=5cm,BC=10cm.
(1)图中哪两个三角形会相似?请说明理由.
(2)求BD的长.
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如图,在同一平面内,将两个全等的等腰直角三角形ABC和AFG摆放在一起,A为公共顶点,∠BAC=∠AGF=90°,它们的斜边长为2,若△ABC固定不动,△AFG绕点A旋转,AF、AG与边BC的交点分别为D、E(点D不与点B重合,点E不与点C重合),设BE=m,CD=n.
(1)△ABE与△DCA是否相似?请加以说明.
(2)求m与n的函数关系式,直接写出自变量n的取值范围.
(3)当BE=CD时,分别求出线段BD、CE、DE的长,并通过计算验证BD2+CE2=DE2
(4)在旋转过程中,(3)中的等量关系BD2+CE2=DE2是否始终成立,若成立,请证明;若不成立,请说明理由.
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如图,D、E分别在△ABC的边AB、AC上,要△AED∽△ABC,应添加条件是(    )(只写出一种即可).
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在△ABC中,∠C=90°.
(1)如图1,P是AC上的点,过点P作直线截△ABC,使截得的三角形与△ABC相似.例如:过点P作PD∥BC交AB于D,则截得的△ADP与△ABC相似.请你在图中画出所有满足条件的直线.
(2)如图2,Q是BC上异于点B,C的动点,过点Q作直线截△ABC,使截得的三角形与△ABC相似,直接写出满足条件的直线的条数.(不要求画出具体的直线)
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