已知：如图，弦AB和CD相交于⊙O内一点P（P与O不重合），连接AC，BD，过A作AE⊥CP于E，过D作DF⊥PB于F。（1）请找出图中二对相似三角形：____

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已知：如图，弦AB和CD相交于⊙O内一点P（P与O不重合），连接AC，BD，过A作AE⊥CP于E，过D作DF⊥PB于F。
（1）请找出图中二对相似三角形：____∽____，____∽____；
（2）请你从（1）中选择一对相似三角形加以证明。

答案

解：（1）△APC∽△DPB，△APE∽△DPF，△AEC∽△DFB；
（2）求证：△APC∽△DPB，
证明：如图，在△APC和△DPB中，
∵∠C是

所对的圆周角，∠B也是

所对的圆周角，
∴∠C=∠B，
∵∠APC=∠DPB，
∴△APC∽△DPB。

举一反三

考虑下面4个命题：①若一条直线上的两点到另一条直线的距离相等。则这两条直线平行；②有一个角是100°的两个等腰三角形相似；③对角线互相垂直且相等的四边形是正方形；④对角线相等的梯形是等腰梯形。其中正确命题的序号是（）。（把你认为正确命题的序号都填上）

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如图，在平面直角坐标系中，等腰梯形AOBC的四个顶点坐标分别为A（2，2

），O（0，0），B（8，0），C（6，2

）。
（1）求等腰梯形AOBC的面积；
（2）试说明点A在以OB的中点D为圆心，OB为直径的圆上；
（3）在第一象限内确定点M，使△MOB与△AOB相似，求出所有符合条件的点M的坐标。

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如图，在正方形ABCD中，E是BC的中点，F是CD上一点，且CF=

CD，下列结论：①∠BAE=30°，②△ABE∽△AEF，③AE⊥EF，④△ADF∽△ECF，其中正确的个数为

[ ]
A.1
B.2
C.3
D.4

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如图，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D=90°，AB=DE=3，AC=2DF=4。

（1）判断这两个三角形是否相似并说明为什么？
（2）能否分别过A，D在这两个三角形中各作一条辅助线，使△ABC分割成的两个三角形与△DEF分割成的两个三角形分别对应相似？证明你的结论。

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如图，不等长的两对角线AC、BD相交于O点，且将四边形ABCD分成甲、乙、丙、丁四个三角形，若OA∶OC=OB∶OD=1∶2，则此四个三角形的关系，下列叙述正确的是

[ ]
A、甲丙相似，乙丁相似
B、甲丙相似，乙丁不相似
C、甲丙不相似，乙丁相似
D、甲丙不相似，乙丁不相似

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