如图所示，E是正方形ABCD的边AB上的动点，EF⊥DE交BC 于点F。（1）求证：△ADE∽△BEF；（2）设正方形的边长为4，AE=x，BF=y，当x取什么

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如图所示，E是正方形ABCD的边AB上的动点，EF⊥DE交BC 于点F。

（1）求证：△ADE∽△BEF；
（2）设正方形的边长为4，AE=x，BF=y，当x取什么值时，有最大值？并求出这个最大值。

答案

解：（1）证明：因为ABCD是正方形，所以∠DAE=∠FBE=90°，
所以∠ADE+∠DEA=90°，
又EF⊥DE，所以∠AED+∠FEB=90°，
所以∠ADE=∠FEB，
所以△ADE∽△BEF；
（2）由（1）△ADE∽△BEF，AD=4，BE=4-x，得

，得

，
所以当x=2时，y有最大值，
y的最大值为1。

举一反三

下列四个三角形，与下图中的三角形相似的是

[ ]
A.

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下列四个三角形，与下图中的三角形相似的是

[ ]
A．

B．

C．

D．

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如图，梯形ABCD内接于⊙O，BC∥AD，AC与BD相交于点E，在不添加任何辅助线的情况下：
（1）图中共有几对全等三角形，请把它们一一写出来，并选择其中一对全等三角形进行证明；
（2）若BD平分∠ADC，请找出图中与△ABE相似的所有三角形。

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如图，已知△ABC中，EF∥GH∥IJ∥BC，则图中相似三角形共有（）对。

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如图，已知⊙O的直径AB=2，直线m与⊙O相切于点A，P为⊙O上一动点（与点A、点B不重合），PO的延长线与⊙O相交于点C，过点C的切线与直线m相交于点D。

（1）求证：△APC∽△COD；
（2）设AP=x，OD=y，试用含x的代数式表示y；
（3）试探索x为何值时，△ACD是一个等边三角形。

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