如图所示，平行四边形ABCD中，E 是CD的延长线上一点，BE与AD 交于点F，求证：△ABF∽△CEB。

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答案

证明：∵ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∵E是CD延长线上一点，
∴AB//CE，
∴∠ABF=∠FED，
∵F为AD上一点，
∴AF∥BC，
∴∠AFB=∠EBC，
∵∠ABF=∠FED，∠AFB=∠EBC，
∴△ABF∽△CEB。

举一反三

在△ABC中，AB=8，AC=6，在△DEF中，DE=4，DF=3，要使△ABC与△DEF相似，则需添加的一个条件是（）。（写出一种情况即可）

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如图所示，点D、E分别在线段AB、AC上，BE、CD相交于点O，AE=AD，要使△ABE∽△ACD，需添加一个条件是（）（只要求写一个条件）。

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如图，在平行四边形ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，BD与AE、AF 分别相交于G、H。

（1）求证：△ABE∽△ADF；
（2）若AG=AH，求证：四边形ABCD是菱形。

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如图所示，Rt△ABC中，CD是斜边上的高。
求证：△BCD∽△CAD。

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如图1，在等边△ABC中，点D是边AC的中点，点P是线段DC上的动点（点P与点C不重合），连结BP，将△ABP绕点P按顺时针方向旋转α角（0°＜α＜180°），得到△A₁B₁P，连结AA₁，射线AA₁分别交射线PB、射线B₁B于点E、F。

（1）如图1，当0°＜α＜60°时，在α角变化过程中，△BEF与△AEP始终存在____关系（填“相似”或“全等”），并说明理由；
（2）如图2，设∠ABP=β，当60°＜α＜180°时，在α角变化过程中，是否存在△BEF与△AEP全等？若存在，求出α与β之间的数量关系；若不存在，请说明理由；
（3）如图3，当α=60°时，点E、F与点B重合，已知AB=4，设DP=x，△A₁BB₁的面积为S，求S关于x的函数关系式。

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