如图1,在等边△ABC中,点D是边AC的中点,点P是线段DC上的动点(点P与点C不重合),连结BP,将△ABP绕点P按顺时针方向旋转α角(0°<α<180°),
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如图1,在等边△ABC中,点D是边AC的中点,点P是线段DC上的动点(点P与点C不重合),连结BP,将△ABP绕点P按顺时针方向旋转α角(0°<α<180°),
题型:浙江省中考真题
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如图1,在等边△ABC中,点D是边AC的中点,点P是线段DC上的动点(点P与点C不重合),连结BP,将△ABP绕点P按顺时针方向旋转α角(0°<α<180°),得到△A
1
B
1
P,连结AA
1
,射线AA
1
分别交射线PB、射线B
1
B于点E、F。
(1)如图1,当0°<α<60°时,在α角变化过程中,△BEF与△AEP始终存在____关系(填“相似”或“全等”),并说明理由;
(2)如图2,设∠ABP=β,当60°<α<180°时,在α角变化过程中,是否存在△BEF与△AEP全等?若存在,求出α与β之间的数量关系;若不存在,请说明理由;
(3)如图3,当α=60°时,点E、F与点B重合,已知AB=4,设DP=x,△A
1
BB
1
的面积为S,求S关于x的函数关系式。
答案
解:(1)相似,
由题意得:∠APA
1
=∠BPB
1
=α,AP= A
1
P,BP=B
1
P
则∠PAA
1
=∠PBB
1
=
∵∠PBB
1
=∠EBF
∴∠PAE=∠EBF
又∵∠BEF=∠AEP
∴△BEF ∽△AEP。
(2)存在,理由如下:
易得:△BEF ∽△AEP
若要使得△BEF≌△AEP,只需要满足BE=AE即可
∴∠BAE=∠ABE
∵∠BAC=60°
∴∠BAE=
∵∠ABE=β,∠BAE=∠ABE
∴
即α=2β+60°。
(3)连结BD,交A
1
B
1
于点G,
过点A
1
作A
1
H⊥AC于点H
∵∠B
1
A
1
P=∠A
1
PA=60°
∴A
1
B
1
∥AC
由题意得:AP= A
1
P,∠A=60°
∴△PAA
1
是等边三角形
∴A
1
H=
在Rt△ABD中,BD=
∴BG=
∴
(0≤x<2)。
举一反三
如图,在平行四边形ABCD中(AB≠BC),直线EF经过其对角线的交点O,且分别交AD、BC于点M、N,交BA、DC的延长线于点E、F,下列结论: ①AO=BO;②OE=OF;③△EAM∽△EBN;④△EAO≌△CNO,其中正确的是
[ ]
A.①②
B.②③
C.②④
D.③④
题型:重庆市中考真题
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已知:正方形ABCD中,E、F分别是边CD、DA上的点,且CE=DF,AE与BF交于点M。
(1)求证:△ABF≌△DAE;
(2)找出图中与△ABM相似的所有三角形(不添加任何辅助线)。
题型:宁夏自治区中考真题
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如图,方格纸中每个小正方形的边长为1,△ABC和△DEF的顶点都在方格纸的格点上。
(1)判断△ABC和△DEF是否相似,并说明理由;
(2)P
1
,P
2
,P
3
,P
4
,P
5
,D,F是△DEF边上的7个格点,请在这7个格点中选取3个点作为三角形的顶点,使构成的三角形与△ABC相似(要求写出2个符合条件的三角形,并在图中连结相应线段,不必说明理由)
题型:浙江省中考真题
难度:
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已知在Rt△ABC中,∠ABC=90°,∠A=30°,点P在AC上,且∠MPN=90°,当点P为线段AC的中点,点M、N分别在线段AB、BC上时(如图1),过点P作PE⊥AB于点E,PF⊥BC于点F,可证Rt△PME∽Rt△PNF,得出PN=
PM。(不需证明)当PC=
PA,点M、N分别在线段AB、BC或其延长线上,如图2、图3这两种情况时,请写出线段PN、PM之间的数量关系,并任选取一给予证明。
题型:黑龙江省中考真题
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如图,在梯形ABCD中,AD//BC,AC与BD相交于点O,则下列三角形中,与△BOC一定相似的是
[ ]
A.△ABD
B.△DOA
C.△ACD
D.△ABO
题型:海南省中考真题
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