已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=90°，E是AD的中点，点P是BC边上的动点（不与点B重合），EP与BD相交于点O。（1）当P点在BC边上运

题型：云南省中考真题难度：来源：

已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=90°，E是AD的中点，点P是BC边上的动点（不与点B重合），EP与BD相交于点O。
（1）当P点在BC边上运动时，求证：△BOP∽△DOE；
（2）设（1）中的相似比为k，若AD︰BC=2︰3，请探究：当k为下列三种情况时，四边形ABPE是什么四边形？
①当k=1时，是_________；
②当k=2时，是_________；
③当k=3时，是_________； 并证明k=2时的结论。

答案

解：（1）∵AD∥BC，
∴∠OBP=∠ODE，
在△BOP和△DOE中，
∠OBP=∠ODE，∠BOP=∠DOE，
∴△BOP∽△DOE；（有两个角对应相等的两三角形相似） （2）①平行四边形；
②直角梯形；
③等腰梯形；
证明：∵k=2时，
∴BP=2DE=AD，
又∵AD︰BC=2︰3
BC=AD
PC=BC-BP=AD-AD=AD=ED
ED∥PC，
∴四边形PCDE是平行四边形，
∵∠DCB=90°
∴四边形PCDE是矩形，
∴∠EPB=90°，
又∵在直角梯形ABCD中
AD∥BC，AB与DC不平行
∴ AE∥BP，
AB与EP不平行四边形ABPE是直角梯形。