已知,如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,两直角边AC、BC的长是关于x的方程x2-(m+5)x+6m=0的两个实数根.(1)求m的值及AC、BC

已知,如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,两直角边AC、BC的长是关于x的方程x2-(m+5)x+6m=0的两个实数根.(1)求m的值及AC、BC

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已知,如图,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,两直角边AC、BC的长是关于x的方程x2-(m+5)x+6m=0的两个实数根.
(1)求m的值及AC、BC的长(BC>AC);
(2)在线段BC的延长线上是否存在点D,使得以D、A、C为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,求出CD的长;若不存在,请说明理由.
答案
(1)设方程x2-(m+5)x+6m=0的两个根分别是x1、x2
∴x1+x2=m+5,x1•x2=6m
∴x12+x22=(x1+x22-2x1x2=(m+5)2-2×6m
∵Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5
∴x12+x22=AB2
∴(m+5)2-2×6m=52∴m2-2m=0
∴m=0或m=2
当m=0时,原方程的解分别为x1=0,x2=5,但三角形的边长不能为0,所以m=0舍去.
当m=2时,原方程为x2-7x+12=0,其解为x1=3,x2=4,所以两直角边AC=3,BC=4
∴m=2,AC=3,BC=4

(2)存在;
已知AC=3,BC=4,AB=5
欲使以△AD1C为顶点的三角形与△ABC相似,则
AB
AD1
=
AC
CD1
=
BC
AC
,∴
3
CD1
=
4
3
,则CD=
9
4

欲使以△AD2C为顶点的三角形与△ABC相似,则
AB
AD2
=
BC
CD2
=
AC
AC
,∴BC=CD2=4
举一反三
已知P是△ABC的AB边上一点,那么下列说法错误的是(  )
A.若AC2=AP•AB,则△ACP△ABC
B.若∠APC=∠ACB,则△ACP△ABC
C.若∠ACP=∠B或∠APC=∠ACB时,△ACP与△ABC相似
D.若AC:AB=CP:BC时,△APC△ACB
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如图,正方形ABCD的边长为1,P是CD边的中点,点Q在线段BC上(不过B点),设BQ=k,当k=______时,以Q、C、P为顶点的三角形与△ADP相似.
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如图,P是△ABC的边AC上一点,连接BP,以下条件中不能判定△ABP△ACB的是(  )
A.
AB
AP
=
AC
AB
B.
AC
AB
=
BC
BP
C.∠ABP=∠CD.∠APB=∠ABC

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如图,P是△ABC的AB边上的一点,下列条件不可能是△ACP△ABC的是(  )
A.∠ACP=∠BB.AP•BC=AC•PC
C.∠APC=∠ACBD.AC2=AP•AB

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要使△ACD△ABC,需要补充的条件是(  )
A.
AC
CD
=
AB
BC
B.
CD
AD
=
BC
AC
C.CD2=AD⋅DBD.AC2=AD⋅AB

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