如图所示,Rt△ABC中,已知∠BAC=90°,AB=AC=2,点D在BC上运动(不能到达点B,C),过点D作∠ADE=45°,DE交AC于点E.(1)求证:△

如图所示,Rt△ABC中,已知∠BAC=90°,AB=AC=2,点D在BC上运动(不能到达点B,C),过点D作∠ADE=45°,DE交AC于点E.(1)求证:△

题型:不详难度:来源:
如图所示,Rt△ABC中,已知∠BAC=90°,AB=AC=2,点D在BC上运动(不能到达点B,C),过点D作∠ADE=45°,DE交AC于点E.
(1)求证:△ABD△DCE;
(2)当△ADE是等腰三角形时,求AE的长.
答案
(1)证明:Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=2,
∴∠B=∠C=45°.
∵∠ADC=∠B+∠BAD,∠ADC=∠ADE+∠EDC,
∴∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD.
又∵∠ADE=45°,
∴45°+∠EDC=45°+∠BAD.
∴∠EDC=∠BAD.
∴△ABD△DCE.

(2)讨论:①若AD=AE时,∠DAE=90°,此时D点与点B重合,不合题意.
②若AD=DE时,△ABD与△DCE的相似比为1,此时△ABD≌△DCE,
于是AB=AC=2,BC=2


2
,AE=AC-EC=2-BD=2-(2


2
-2)=4-2


2

③若AE=DE,此时∠DAE=∠ADE=45°,
如下图所示易知AD⊥BC,DE⊥AC,且AD=DC.由等腰三角形的三线合一可知:AE=CE=
1
2
AC=1.
举一反三
如图,在△ABC中,AB=AC,BD=CD,CE⊥AB于E.求证:△ABD△CBE.
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如图,在▱ABCD中,E、F分别是AD、CD边上的点,连接BE、AF,他们相交于G,延长BE交CD的延长线于点H,则图中的相似三角形共有(  )
A.2对B.3对C.4对D.5对

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如图,Rt△AB′C′是由Rt△ABC绕点A顺时针旋转得到的,连接CC′交斜边于点E,CC′的延长线交BB′于点F.
(1)证明:△ACE△FBE;
(2)设∠ABC=α,∠CAC′=β,试探索α、β满足什么关系时,△ACE与△FBE是全等三角形,并说明理由.
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如图,P是△ABC边AB上的一点,连接CP,下列条件中,不能判定△ACP△ABC的是(  )
A.AC2=AP•ABB.∠ABC=∠ACPC.∠APC=∠ACBD.
AP
AB
=
AC
BC

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(1)△ABC和△A′B′C′中,∠A=40°,AB=8,AC=15,∠A′=40°,A′B′=16,A′C′=30,
△ABC与△A′B′C′是否相似?请说明理由.
(2)△ABC和△A′B′C′中,∠B=50°,AB=4,AC=3.2,∠B′=50°,A′B′=2,A′C′=1.6,
△ABC与△A′B′C′是否相似?请说明理由.
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