如图，甲、乙两人分别从A(1，)、B(6，0)两点同时出发，点O为坐标原点，甲沿AO方向、乙沿BO方向均以4km/h的速度行驶，th后，甲到达M点，乙到达N点．

题型：江苏中考真题难度：来源：

如图，甲、乙两人分别从A(1，)、B(6，0)两点同时出发，点O为坐标原点，甲沿AO方向、乙沿BO方向均以4km/h的速度行驶，th后，甲到达M点，乙到达N点．
(1)请说明甲、乙两人到达O点前，MN与AB不可能平行．
(2)当t为何值时，△OMN∽△OBA？
(3)甲、乙两人之间的距离为MN的长，设s＝MN²，求s与t之间的函数关系式，并求甲、乙两人之间距离的最小值。

答案

解：(1)因为A坐标为(1，)，
所以OA＝2，∠AOB＝60°．
因为OM＝2－4t，ON＝6－4t，
当＝时，
解得t＝0，即在甲、乙两人到达O点前，
只有当t＝0时，△OMN∽△OAB，
所以MN与AB不可能平行；
(2)因为甲达到O点时间为t＝，乙达到O点的时间为t＝＝，
所以甲先到达O点，
所以t＝或t＝时，O、M、N三点不能连接成三角形，
①当t＜时，如果△OMN∽△OAB，
则有＝，解得t＝2＞，
所以，△OMN不可能相似△OBA；
②当＜t＜时，∠MON＞∠AOB，
显然△OMN不相似△OBA；
③当t＞时，＝，解得t＝2＞，
所以当t＝2时，△OMN∽△OBA；
(3)①当t≤时，过点M作MH⊥x轴，垂足为H，
在Rt△MOH中，因为∠AOB＝60°，
所以MH＝OMsin60°＝(2－4t)×＝(1－2t)，
OH＝0Mcos60°＝(2－4t)×＝1－2t，
所以NH＝(6－4t)－(1－2t)＝5－2t，
所以s＝[(1－2t)]²＋(5－2t)²＝16t²－32t＋28
②当＜t≤时，作MH⊥x轴，垂足为H，
在Rt△MNH中，MH＝(4t－2)＝(2t－1)，NH＝(4t－2)＋(6－4t)＝5－2t，
所以s＝[(1－2t)]²＋(5－2t)²＝16t²－32t＋28
当t＞时，同理可得s＝[(1－2t)]²＋(5－2t)²＝16t²－32t＋28，
综上所述，s＝[(1－2t)]²＋(5－2t)²＝16t²－32t＋28．
因为s＝16t²－32t＋28＝16(t－1)²＋12，
所以当t＝1时，s有最小值为12，
所以甲、乙两人距离最小值为2km。