问题背景如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，DE ⊥AB于点 E，延长 AD、BC交于点P，过点D作DF∥CB交AB于点F，设四边形BCDF、△ADF、△PDC

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问题背景如图，在梯形ABCD中，DC∥AB，DE ⊥AB于点 E，延长 AD、BC交于点P，过点D作DF∥CB交AB于点F，设四边形BCDF、△ADF、△PDC的面积分别为 S、S₁、S₂。解决问题
(1)若AB = 8，DC = 2，DE = 3，则 S =（），S₁ =（）、S₂=（）；
(2)若AB = a，DC = b，DE = h，则

=_______________，并说明理由。

答案

解：(1)6，9，1
(2)4
理由：∵DF//CB，DC//AB，
∴ 四边形BCDF为平行四边形，∠PDC = ∠A，∠P = ∠ADF，
∴△PDC∽△DAF，BF = DC =b，
∴

∵

，

，
∴

∵ S=bh，
∴

举一反三

两个相似三角形的周长之比为2:3，则它们的面积之比是（）．

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如图，设抛物线y= ax² + bx -2与x轴交于两个不同的点A(- 1，0)、B(m，0)，与y轴交于点C，且∠ACB = 90°，
(1)求m的值；
(2)求抛物线的解析式，并证明点D(1，- 3 )在抛物线上；
(3)已知过点A 的直线y=x+1 交抛物线于另一点E，问：在x轴上是否存在点P，使以点P、B、D为顶点的三角形与△AEB相似？若存在，请求出所有符合要求的点P的坐标，若不存在，请说明理由。

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课题：探求直角梯形剪开后进行旋转、平移操作的相关问题。如图l，小明将一张直角梯形纸片沿虚线剪开，得到矩形和三角形纸片，测得AB =10，AD =8。观察计算：
(l)将△EFG的顶点 G移到矩形的顶点B处，再将三角形绕点B顺时针旋转使E点落在CD边上，此时，EF恰好经过点A（如图2），请你求出AE和FG的长度，探索发现。
(2)如图3，在(1)的条件下，小明先将三角形的边EG和矩形的边AB重合，然后将△EFG沿直线BC向右平移，至F点与B重合时停止．在平移过程中，设G点平移的距离为x，两纸片重叠部分而积为y，求在平移的过程中，y与x之间的函数关系式，并求当重叠部分面积为20时，平移距离x的值。

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如图，已知 A(0，m)、B(n，0)，点P是y轴负半轴上任一点，连接BP，以 BP为一边在第四象限作矩形PBEF，以 BA 为一边在第一象限作矩形ABCD量，连接CE与x轴交于点H，若AB=kBC，BP=kBE，试探究HE与HC之间的数关系，并说明理由。

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已知△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，D是腰AC上的一个动点，过C作CE垂直于BD或BD的延长线，垂足为E，如图①．

（1）若BD是AC的中线，如图②，求

的值；
（2）若BD是∠ABC的角平分线，如图③，求

的值；
（3）结合（1）、（2），请你推断

的值的取值范围（直接写出结论，不必证明），并探究

的值能小于

吗？若能，求出满足条件的D点的位置；若不能，请说明理由．

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