如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB． （1）求证：AD⊥DC；（2）若AD=2，AC=，求AB的长．

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如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB． （1）求证：AD⊥DC；（2）若AD=2，AC=，求AB的长．

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如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB．
（1）求证：AD⊥DC；
（2）若AD=2，AC=，求AB的长．
答案
（1）解：连接CO，则CO⊥CD，
    所以
    又因为AC平分，
    所以
     再在⊙O中OA=OC ，
    所以
    所以
    则  即AD⊥DC
（2）由（1）得 ，
    所以∽
    所以 ，
    
举一反三
如图，⊙O是△ABC的外接圆，BC是⊙O的直径，D是劣弧的中点，BD交AC于点E
（1）求证：
（2）若，，求DE的长
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如图，在等边△ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且∠APD=60°，BP=1，，则△ABC的边长为（     ）
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如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠ACD。
（1）试说明：△ABC∽△DCA；
（2）若AC=6，BC=9，求AD的长。
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把两块全等的直角三角形ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角扳ABC的斜边中点O重合，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=4，把三角板ABC固定不动，让三角扳DEF绕点O旋转，设射线DE与射线AB相交于点P，射线DF与线段BC相交于点Q。

（1）如图1，当射线DF经过点B，即点Q与点B重合时，易证△APD～△CDQ。此时，AP·CQ=______。
（2）将三角板DEF由图1所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转，设旋转角为a．其中 0°<a<90°，问AP·CQ的值是否改变？说明你的理由。
（3）在（2）的条件下，设CQ=x，两块三角板重叠面积为y，求y与x的函数关系式。（图2，图3供解题用）

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已知：AB是半圆O 的直径，点C在BA的延长线上运动(点C与点A不重合)，以OC为直径的半圆M与半圆O交于点D，∠DCB的平分线与半圆M交于点E。
（1）求证：CD是半圆O的切线(图①)；
（2）作EF⊥AB于点F(图②)，猜想EF与已有的哪条线段的一半相等，并加以证明；
（3）在上述条件下，过点E作CB的平行线CD于点N，当NA与半圆O相切时(图③)，求∠EOC的正切值。
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