如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠ACD。（1）试说明：△ABC∽△DCA；（2）若AC=6，BC=9，求AD的长。

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如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=∠ACD。

（1）试说明：△ABC∽△DCA；
（2）若AC=6，BC=9，求AD的长。

答案

解：（1）∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠CAD，
又∵∠B=∠ACD，
∴△ABC∽△DCA。
（2）∵△ABC∽△DCA，
∴

，

，
∵AC=6，BC=9，
∴6²=9·AD，
解得：AD=4。

举一反三

把两块全等的直角三角形ABC和DEF叠放在一起，使三角板DEF的锐角顶点D与三角扳ABC的斜边中点O重合，其中∠ABC=∠DEF=90°，∠C=∠F=45°，AB=DE=4，把三角板ABC固定不动，让三角扳DEF绕点O旋转，设射线DE与射线AB相交于点P，射线DF与线段BC相交于点Q。

（1）如图1，当射线DF经过点B，即点Q与点B重合时，易证△APD～△CDQ。此时，AP·CQ=______。
（2）将三角板DEF由图1所示的位置绕点O沿逆时针方向旋转，设旋转角为a．其中 0°<a<90°，问AP·CQ的值是否改变？说明你的理由。
（3）在（2）的条件下，设CQ=x，两块三角板重叠面积为y，求y与x的函数关系式。（图2，图3供解题用）

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已知：AB是半圆O 的直径，点C在BA的延长线上运动(点C与点A不重合)，以OC为直径的半圆M与半圆O交于点D，∠DCB的平分线与半圆M交于点E。