通过学习三角函数,我们知道在直角三角形中,一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定,因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似的,可以在等腰三角形中建立边角之间
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通过学习三角函数,我们知道在直角三角形中,一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定,因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似的,可以在等腰三角形中建立边角之间的联系.我们定义:等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角正对(sad),如图①,在△ABC中,AB=AC,顶角A的正对记作sadA,这时sadA=底边/腰=.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义,解下列问题: (1)sad60°= . (2)对于0°<A<180°,∠A的正对值sadA的取值范围是 . (3)如图②,已知sinA=,其中∠A为锐角,试求sadA的值. |
答案
解:(1)根据正对定义, 当顶角为60°时,等腰三角形底角为60°, 则三角形为等边三角形, 则sad60°==1. (2)当∠A接近0°时,sadα接近0, 当∠A接近180°时,等腰三角形的底接近于腰的二倍,故sadα接近2. 于是sadA的取值范围是0<sadA<2. (3) 如图,在△ABC中,∠ACB=90°,sin∠A=. 在AB上取点D,使AD=AC,作DH⊥AC,H为垂足,
令BC=3k,AB=5k,则AD=AC==4k, 又在△ADH中,∠AHD=90°,sin∠A=. ∴DH=ADsin∠A=k,AH==k. 则在△CDH中,CH=AC﹣AH=k, CD==k. 于是在△ACD中,AD=AC=4k,CD=k. 由正对的定义可得:sadA==,即sadα=. |
解析
(1)根据等腰三角形的性质,求出底角的度数,判断出三角形为等边三角形,再根据正对的定义解答; (2)求出0度和180度时等腰三角形底和腰的比即可; (3)作出直角△ABC,构造等腰三角形ACD,根据正对的定义解答. |
举一反三
在Rt△ABC中,若各边的长度同时扩大5倍,那么锐角A的正弦值和余弦值 ( )A.都不变 | B.都扩大5倍 | C.正弦扩大5倍、余弦缩小5倍 | D.不能确定 |
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已知∠α的顶点在原点,一条边在x轴的正半轴,另一条边经过点P(3,-4),则sinα的值是 ( ) |
如图、两条宽度为1的纸条,交叉重叠在一起,且它们的较小交角为α,则它们重叠部分(阴影部分)的面积为 ( )
A. | B. | C.sinα | D.1 |
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在离旗杆20米处的地方用测角仪测得旗杆顶的仰角为α,如果测角仪的高度为1.5米,那么旗杆的高度为 (用含α的代数式表示) |
正方形ABCD的边长为1,如果将线段BD绕着点B旋转后,点D落在BC延长线上的点D1处,那么tan∠BAD1= |
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