如图，已知直径与等边△ABC的高相等的圆O分别与边AB、BC相切于点D、E，边AC过圆心O与圆O相交于点F、G．（1）求证：DE∥AC；（2）若△ABC的边长为

题型：北京市期末题难度：来源：

如图，已知直径与等边△ABC的高相等的圆O分别与边AB、BC相切于点D、E，边AC过圆心O与圆O相交于点F、G．（1）求证：DE∥AC；
（2）若△ABC的边长为a，求△ECG的面积。

答案

解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，∠C=60°；
∵AB、BC是圆O的切线，D、E是切点，
∴BD=BE，
∴∠BDE=60°，∠A=60°，有DE∥AC；
（2）分别连接OD、OE，作EH⊥AC于点H，
∵AB、BC是圆O的切线，D、E是切点，O是圆心，
∴∠ADO=∠OEC=90°，OD=OE，AD=EC，
∴△ADO≌△CEO，有AO=OC=a，
∵圆O的直径等于△ABC的高，得半径OG=，
∴CG=OC+OG=a+，
∵EH⊥OC，∠C=60°，

∴∠COE=30°，EH=；
∵S_△ECG=CG·EH=（），
∴。