某县社会主义新农村建设办公室,为了解决该县甲、乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题,想在这三个地方的其中一处建一所供水站,由供水站直接铺设管道到另外两处。 如

某县社会主义新农村建设办公室,为了解决该县甲、乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题,想在这三个地方的其中一处建一所供水站,由供水站直接铺设管道到另外两处。 如

题型:陕西省中考真题难度:来源:
某县社会主义新农村建设办公室,为了解决该县甲、乙两村和一所中学长期存在的饮水困难问题,想在这三个地方的其中一处建一所供水站,由供水站直接铺设管道到另外两处。
如图,甲、乙两村坐落在夹角为30°的两条公路的AB段和CD段(村子和公路的宽均不计),点M表示这所中学。点B在点M的北偏西30°的3km处,点A在点M的正西方向,点D在点M的南偏西60°的km处。 为使供水站铺设到另两处的管道长度之和最短,现有如下三种方案:
方案一:供水站建在点M处,请你求出铺设到甲村某处和乙村某处的管道长度之和的最小值;
方案二:供水站建在乙村(线段CD某处),甲村要求管道铺设到A处,请你在图①中,画出铺设到点A和点M处的管道长度之和最小的线路图,并求其最小值;
方案三:供水站建在甲村(线段AB某处),请你在图②中,画出铺设到乙村某处和点M处的管道长度之和最小的线路图,并求其最小值。
综上,你认为把供水站建在何处,所需铺设的管道最短?

答案
解:方案一:由题意可得:MB⊥OB, 
∴点M到甲村的最短距离为MB。 
∵点M到乙村的最短距离为MD,
∴将供水站建在点M处时,管道沿MD、MB线路铺设的长度之和最小,
 即最小值为MB+MD=3+ (km)。方案二:如图①,作点M关于射线OE的对称点M′,
则MM′=2ME,
连接AM′交OE于点P,PE∥AM,PE=。 
∵AM=2BM=6,
∴PE=3
在Rt△DME中, 

∴PE=DE,
∴ P点与E点重合,即AM′过D点。在线段CD上任取一点P′,
连接P′A,P′M,P′M′,则P′M=P′M′。
∵AP′+P′M′>AM′,
∴把供水站建在乙村的D点处,管道沿DA、DM线路铺设的长度之和最小, 方案三:作点M关于射线OF的对称点M′,作M′N⊥OE于N点,交OF于点G,交AM于点H,连接GM,则GM=GM′ 
∴M′N为点M′到OE的最短距离,即M′N=GM+GN 
在Rt△M′HM中,∠MM′N=30°,MM′=6, 
∴MH=3,
∴NE=MH=3 
∵DE=3,
∴N、D两点重合,即M′N过D点。
在Rt△M′DM中,DM=
∴M′D=
在线段AB上任取一点G′,过G′作G′N′⊥OE于N′点,
连接G′M′,G′M,显然G′M+G′N′=G′M′+G′N′>M′D 
∴把供水站建在甲村的G处,管道沿GM、GD 线路铺设的长度之和最小,
即最小值为
综上,∵             
∴供水站建在M处,所需铺设的管道长度最短。    
举一反三
如图,水坝的横断面是梯形,迎水坡BC的坡角∠B=30°,背水坡AD的坡度为1:,坝顶DC宽25米,坝高CE是45米,求:坝底AB的长?迎风坡BC的长?以及BC的坡度。(答案可以带上根号)

题型:甘肃省中考真题难度:| 查看答案
三楚第一山--东方山是黄石地区的佛教圣地,也是国家AAA级游览景区,它的主峰海拔约为600米,主峰AB上建有一座电信信号发射架BC,现在山脚P处测得峰顶的仰角为α,发射架顶端的仰角为β,其中tanα=,tanβ=,求发射架高BC。

题型:湖北省中考真题难度:| 查看答案
已知sinA=,且∠A为锐角,则∠A=

[     ]

A.30°
B.45°
C.60°
D.75°
题型:广东省中考真题难度:| 查看答案
如图,台风中心位于点P,并沿东北方向PQ移动,已知台风移动的速度为30千米/时,受影响区域的半径为200千米,B市位于点P的北偏东75°方向上,距离点P320千米处。
(1)说明本次台风会影响B市;
(2)求这次台风影响B市的时间。

题型:浙江省中考真题难度:| 查看答案
(1)计算:
(2)如图所示,△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,AD是△ABC的角平分线,若AC=,求线段AD的长。

题型:山东省中考真题难度:| 查看答案
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