试题分析:(1)由已知可知∠BDF=∠CEF,∠B=∠C,所以得证. (2)四边形ADFE面积S可以看成△ADF与△AEF的面积之和,这两个三角形均为直角三角形,在△BDF与△CEF中,由三角函数可以用m表示出BD、DF、CE、EF的长,进而可得AD、AE的长,从而可以用含m的代数式表示S,然后通过配方,转化为二次函数的最值问题,就可以解决问题. (3)由已知易知AF就是圆的直径,利用圆周角定理将∠EDF转化为∠EAF.在△AFC中,知道tan∠EAF、∠C、AC,通过解直角三角形就可求出AF长. 试题解析:(1):∵DF⊥AB,EF⊥AC, ∴∠BDF=∠CEF=90°. ∵△ABC为等边三角形, ∴∠B=∠C=60°. ∵∠BDF=∠CEF,∠B=∠C, ∴△BDF∽△CEF. (2)∵∠BDF=90°,∠B=60°, ∴sin60°==,cos60°==. ∵BF=m, ∴DF=m,BD=. ∵AB=4, ∴AD=4﹣. ∴S△ADF=AD•DF =×(4﹣)×m =﹣m2+m. 同理:S△AEF=AE•EF =×(4﹣)×(4﹣m) =﹣m2+2. ∴S=S△ADF+S△AEF =﹣m2+m+2 =﹣(m2﹣4m﹣8) =﹣(m﹣2)2+3.其中0<m<4. ∵﹣<0,0<2<4, ∴当m=2时,S取最大值,最大值为3. ∴S与m之间的函数关系为: S═﹣(m﹣2)2+3(其中0<m<4). 当m=2时,S取到最大值,最大值为3. (3)如图2,
∵A、D、F、E四点共圆, ∴∠EDF=∠EAF. ∵∠ADF=∠AEF=90°, ∴AF是此圆的直径. ∵tan∠EDF=, ∴tan∠EAF=. ∴=. ∵∠C=60°, ∴=tan60°=. 设EC=x,则EF=x,EA=2x. ∵AC=a, ∴2x+x=a. ∴x=. ∴EF=,AE=. ∵∠AEF=90°, ∴AF==. ∴此圆直径长为. |