如图,AB为⊙O的弦,OC⊥OA,交AB于点P,且PC=BC.(1)判断直线BC与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)若tan∠A=,BC=8,求⊙O的半径.

如图,AB为⊙O的弦,OC⊥OA,交AB于点P,且PC=BC.(1)判断直线BC与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)若tan∠A=,BC=8,求⊙O的半径.

题型:不详难度:来源:
如图,AB为⊙O的弦,OC⊥OA,交AB于点P,且PC=BC.

(1)判断直线BC与⊙O的位置关系,并说明理由;
(2)若tan∠A=,BC=8,求⊙O的半径.
答案
(1)证明见解析;(2)⊙O的半径是6.
解析

试题分析:(1)根据等腰三角形的性质求得∠OBP+∠CBP=90°,则BC是⊙O的切线;
(2)根据锐角三角函数定义,可设OP=x,则OA=3x.在Rt△OBC中,由勾股定理列出关于x的方程(x+8)2=(3x)2+82,通过解该方程可以求得x=2,则OA=3x=6.
试题解析:(1)相切.理由如下:
∵OA=OB,
∴∠A=∠OBA.
∵CP=BP,
∴∠CBP=∠BPC.
∵∠OPA=∠BPC,∠A+∠OPA=90°,
∴∠OBP+∠CBP=90°,
∴BC是⊙O的切线;
(2)∵tanA=
∴设OP=x,则OA=3x.
在Rt△OBC中,(x+8)2=(3x)2+82
解得 x=2,则OA=6,
∴⊙O的半径是6.
举一反三
如图,⊙O与Rt△ABC的斜边AB相切于点D,与直角边AC相交于点E,且DE∥BC.已知AE=2,AC=3,BC=6,则⊙O的半径是

A.3         B.2       C.2       D.
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如图,已知半径为1的圆的圆心为M(0,1),点B(0,2),A是x轴负半轴上的一点,D是OA的中点,AB交⊙M于点C.若四边形BCDM为平行四边形,则sin∠ABD=     

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如图,在△ABC中,D是AB边上一点,⊙O过D、B、C三点,∠DOC=2∠ACD=90°.
(1)求证:直线AC是⊙O的切线;
(2)如果∠ACB=75°.
①若⊙O的半径为2,求BD的长;
②求CD:BC的值.

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如图, AE是⊙O直径,D是⊙O上一点,连结AD并延长使AD=DC,连结CE交⊙O于点B,连结AB.过点E的直线与AC的延长线交于点F,且∠F=∠CED.
(1)求证:EF是⊙O切线;
(2)若CD=CF=2,求BE的长.

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已知:如图,PA切⊙O于点A,PB切⊙O于点B,如果∠APB=60°,⊙O半径是3,则劣弧AB的长为(   )
A.πB.C.2πD.3π

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