如图,以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆,经过A,B两点,且与BC边交于点E,D为BE的下半圆弧的中点,连结AD交BC于F,若AC=FC.(1)求证:AC是⊙

如图,以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆,经过A,B两点,且与BC边交于点E,D为BE的下半圆弧的中点,连结AD交BC于F,若AC=FC.(1)求证:AC是⊙

题型:不详难度:来源:
如图,以△ABC的BC边上一点O为圆心的圆,经过A,B两点,且与BC边交于点E,D为BE的下半圆弧的中点,连结AD交BC于F,若AC=FC.

(1)求证:AC是⊙O的切线:
(2)若BF=8,DF=,求⊙O的半径r.
答案
(1)证明见解析;(2)6.
解析

试题分析:(1)连接OA、OD,求出∠D+∠OFD=90°,推出∠CAF=∠CFA,∠OAD=∠D,求出∠OAD+∠CAF=90°,根据切线的判定推出即可;
(2)OD=r,OF=8-r,在Rt△DOF中根据勾股定理得出方程,求出即可.
试题解析: (1)证明:连结OA、OD,

∵D为下半圆BE的中点,
∴∠BOD=∠DOF=90°,
∴∠D+∠OFD=90°,
∵AC=FC,OA=OD,
∴∠CAF=∠CFA,∠OAD=∠D,
∵∠CFA=∠OFD,
∴∠OAD+∠CAF=90°,∴OA⊥AC,
∵OA为半径,∴AC是⊙O的切线;(2)解:∵⊙O半径是r,∴OD=r,OF=8﹣r,
又∵在Rt△DOF中,OD2+OF2=DF2,

解得,
时,OF=(符合题意),
时,OF=(不合题意,舍去),
∴⊙O的半径r为6.
考点: 切线的判定.
举一反三
如图,AB是⊙O的直径,∠C=30°,则∠ABD等于(  )
A.30°B.40°C.50°D.60°

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如图,⊙A、⊙B、⊙C、⊙D、⊙E相互外离,它们的半径都是1,顺次连接五个圆心得到五边形ABCDE,则图中五个扇形(阴影部分)的面积之和是(  )

A.π         B.π    C.2π        D.4π
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如图,∠APB=30°,圆心在PB上的⊙O的半径为1cm,OP=3cm,若⊙O沿BP方向平移,当⊙O与PA相切时,圆心O平移的距离为 _________ cm.

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如图,PA为⊙O的切线,A为切点,⊙O的割线PBC过点O与⊙O分别交于B、C,PA=8cm,PB=4cm,求⊙O的半径.

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两圆半径分别为3cm和7cm,当圆心距d=10cm时,两圆的位置关系为(  )
A.外离, B.内切, C.相交, D.外切

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