试题分析:(1)欲证点F是AD的中点,只须证AF=DF,可以证明△AEF≌△DEF得出; (2)求∠AED的余弦值,即求ME:DM,由已知条件,勾股定理,切割线定理的推论可以求出; (3)根据△AEC∽△BEA易得AE2=CE•BE,因此(5k)2=k•(10+5k),解得k=2,所以CD=k=5. 试题解析:(1)证明:∵AD是△ABC的角平分线, ∴∠1=∠2, ∵∠ADE=∠1+∠B,∠DAE=∠2+∠3,且∠B=∠3, ∴∠ADE=∠DAE, ∴ED=EA, ∵ED为⊙O直径, ∴∠DFE=90°, ∴EF⊥AD, ∴点F是AD的中点; (2)解:连接DM, 设EF=4k,DF=3k,
则ED=, ∵AD•EF=AE•DM, ∴DM=, ∴ME=, ∴cos∠AED=; (3)∵∠B=∠3,∠AEC为公共角, ∴△AEC∽△BEA, ∴AE:BE=CE:AE, ∴AE2=CE•BE, ∴(5k)2=k•(10+5k), ∵k>0, ∴k=2, ∴CD=k=5. 考点: 1.圆周角定理;2.相似三角形的判定与性质;3.锐角三角函数的定义. |