如图,点C在以AB为直径的半圆O上,以点A为旋转中心,以∠β(0°<β<90°)为旋转角度将B旋转到点D,过点D作DE⊥AB于点E,交AC于点F,过点C作圆O的

如图,点C在以AB为直径的半圆O上,以点A为旋转中心,以∠β(0°<β<90°)为旋转角度将B旋转到点D,过点D作DE⊥AB于点E,交AC于点F,过点C作圆O的

题型:不详难度:来源:
如图,点C在以AB为直径的半圆O上,以点A为旋转中心,以∠β(0°<β<90°)为旋转角度将B旋转到点D,过点D作DE⊥AB于点E,交AC于点F,过点C作圆O的切线交DE于点G。

(1)求证:∠GCA=∠OCB;
(2)设∠ABC=m°,求∠DFC的值;
(3)当G为DF的中点时,请探究∠β与∠ABC的关系,并说明理由。
答案
(1)证明见解析;(2)m°;(3)∠β=180°-2∠ABC.理由见解析.
解析

试题分析:(1)由AB为⊙O的直角,根据圆周角定理得到∠ACB=90°,即∠1+∠3=90°,再根据切线的性质得OC⊥CG,则∠3+∠GCA=90°,然后利用等量代换即可得到∠1=∠GCA;
(2)由DE⊥AB得到∠AEF=90°,再根据等角的余角相等可得到∴∠AFE=∠ABC=m°,然后利用对顶角相等有∠DFC=∠AFE=m°;
(3)由∠GCA=∠1,∠DFC=∠ABC易得∠GCF=∠GFC,根据等腰三角形的判定得到GF=GC,由GD=GF得到GD=GC,则∠2=∠4,利用三角形内角和得∠2+∠GCF=×180°=90°,即∠DCF=90°,而∠ACB=90°,于是得到点B、C、D共线,然后根据旋转的性质得到△ABC以AB为腰的等腰三角形,且顶角∠BAC=β,则根据三角形内角和定理易得β=180°-2∠ABC.
试题解析:(1)证明:如图:

∵AB为⊙O的直角,
∴∠ACB=90°,即∠1+∠3=90°,
∵GC为⊙O的切线,
∴OC⊥CG,
∴∠OCG=90°,即∠3+∠GCA=90°,
∴∠1=∠GCA,
即∠GCA=∠OCB;
(2)∵∠ACB=90°,
∴∠ABC+∠BAC=90°,
∵DE⊥AB,
∴∠AEF=90°,
∴∠AFE+∠EAF=90°,
∴∠AFE=∠ABC=m°,
∴∠DFC=∠AFE=m°;
(3)∠β=180°-2∠ABC.理由如下:
∵∠GCA=∠1,∠DFC=∠ABC,
而∠1=∠ABC,
∴∠GCF=∠GFC,
∴GF=GC,
∵G为DF的中点,
∴GD=GF,
∴GD=GC,
∴∠2=∠4,
∴∠2+∠GCF= ×180°=90°,即∠DCF=90°,
而∠ACB=90°,
∴点B、C、D共线,
∵以点A为旋转中心,以∠β(0°<β<90°)为旋转角度将B旋转到点D,
∴AD=AB,∠BAD=β,
∴∠ABD=∠ADB,
∴β+2∠ABC=180°,
即β=180°-2∠ABC.
考点: 圆的综合题.
举一反三
如图,PA、PB分别切⊙O于点A、B,若∠P=70°,则∠C的大小为      度.

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如图,在Rt△AOB中,OA=OB=3,⊙O的半径为1,点P是AB边上的动点,过点P作⊙O的一条切线PQ(点Q为切点),则切线PQ的最小值为      

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如图,在11×11的正方形网格中,每个小正方形的边长都为1,网格中有一个格点△ABC(即三角形的顶点都在格点上).

(1)在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1;(要求A与A1,B与B1,C与C1相对应)
(2)作出△ABC绕点C顺时针方向旋转90°后得到的△A2B2C;
(3)在(2)的条件下求出线段CB旋转到CB2所扫过的面积.(结果保留π)
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若相交两圆⊙O1、⊙O2的半径分别是2和4,则圆心距O1O2可能取的值是(       )
A.1B.2C.4D.6

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如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为E,如果AB=26,CD=24,那么sin∠OCE=      

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