如图,点C在以AB为直径的半圆O上,以点A为旋转中心,以∠β(0°<β<90°)为旋转角度将B旋转到点D,过点D作DE⊥AB于点E,交AC于点F,过点C作圆O的
题型:不详难度:来源:
如图,点C在以AB为直径的半圆O上,以点A为旋转中心,以∠β(0°<β<90°)为旋转角度将B旋转到点D,过点D作DE⊥AB于点E,交AC于点F,过点C作圆O的切线交DE于点G。
(1)求证:∠GCA=∠OCB; (2)设∠ABC=m°,求∠DFC的值; (3)当G为DF的中点时,请探究∠β与∠ABC的关系,并说明理由。 |
答案
(1)证明见解析;(2)m°;(3)∠β=180°-2∠ABC.理由见解析. |
解析
试题分析:(1)由AB为⊙O的直角,根据圆周角定理得到∠ACB=90°,即∠1+∠3=90°,再根据切线的性质得OC⊥CG,则∠3+∠GCA=90°,然后利用等量代换即可得到∠1=∠GCA; (2)由DE⊥AB得到∠AEF=90°,再根据等角的余角相等可得到∴∠AFE=∠ABC=m°,然后利用对顶角相等有∠DFC=∠AFE=m°; (3)由∠GCA=∠1,∠DFC=∠ABC易得∠GCF=∠GFC,根据等腰三角形的判定得到GF=GC,由GD=GF得到GD=GC,则∠2=∠4,利用三角形内角和得∠2+∠GCF=×180°=90°,即∠DCF=90°,而∠ACB=90°,于是得到点B、C、D共线,然后根据旋转的性质得到△ABC以AB为腰的等腰三角形,且顶角∠BAC=β,则根据三角形内角和定理易得β=180°-2∠ABC. 试题解析:(1)证明:如图:
∵AB为⊙O的直角, ∴∠ACB=90°,即∠1+∠3=90°, ∵GC为⊙O的切线, ∴OC⊥CG, ∴∠OCG=90°,即∠3+∠GCA=90°, ∴∠1=∠GCA, 即∠GCA=∠OCB; (2)∵∠ACB=90°, ∴∠ABC+∠BAC=90°, ∵DE⊥AB, ∴∠AEF=90°, ∴∠AFE+∠EAF=90°, ∴∠AFE=∠ABC=m°, ∴∠DFC=∠AFE=m°; (3)∠β=180°-2∠ABC.理由如下: ∵∠GCA=∠1,∠DFC=∠ABC, 而∠1=∠ABC, ∴∠GCF=∠GFC, ∴GF=GC, ∵G为DF的中点, ∴GD=GF, ∴GD=GC, ∴∠2=∠4, ∴∠2+∠GCF= ×180°=90°,即∠DCF=90°, 而∠ACB=90°, ∴点B、C、D共线, ∵以点A为旋转中心,以∠β(0°<β<90°)为旋转角度将B旋转到点D, ∴AD=AB,∠BAD=β, ∴∠ABD=∠ADB, ∴β+2∠ABC=180°, 即β=180°-2∠ABC. 考点: 圆的综合题. |
举一反三
如图,PA、PB分别切⊙O于点A、B,若∠P=70°,则∠C的大小为 度.
|
如图,在Rt△AOB中,OA=OB=3,⊙O的半径为1,点P是AB边上的动点,过点P作⊙O的一条切线PQ(点Q为切点),则切线PQ的最小值为 .
|
如图,在11×11的正方形网格中,每个小正方形的边长都为1,网格中有一个格点△ABC(即三角形的顶点都在格点上).
(1)在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1;(要求A与A1,B与B1,C与C1相对应) (2)作出△ABC绕点C顺时针方向旋转90°后得到的△A2B2C; (3)在(2)的条件下求出线段CB旋转到CB2所扫过的面积.(结果保留π) |
若相交两圆⊙O1、⊙O2的半径分别是2和4,则圆心距O1O2可能取的值是( ) |
如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,垂足为E,如果AB=26,CD=24,那么sin∠OCE=
|
最新试题
热门考点