如图,⊙O的直径AB=6cm,P是AB延长线上的一点,过点P作⊙O的切线,切点为C,连接AC,BC.(1)若∠CPA=30°,求PC的长;(2)探究:当点P在A

如图,⊙O的直径AB=6cm,P是AB延长线上的一点,过点P作⊙O的切线,切点为C,连接AC,BC.(1)若∠CPA=30°,求PC的长;(2)探究:当点P在A

题型:不详难度:来源:
如图,⊙O的直径AB=6cm,P是AB延长线上的一点,过点P作⊙O的切线,切点为C,连接AC,BC.

(1)若∠CPA=30°,求PC的长;
(2)探究:当点P在AB的延长线上运动时,是否总存在∠PCB=∠CAB?若存在,请证明;若不存在,请说明理由.
答案
(1)PC=cm;(2)存在,理由详见解析.
解析

试题分析:(1)连接OC,由切线的性质得OC⊥PC,然后根据三角函数定义可求PC的值;(2)由切线的性质得∠OCB+∠PCB=90°,因为AB是圆的直径,根据“直径所对的圆周角是直角”得∠A+∠ABC=90°,根据等角的余角相等,可知∠PCB=∠CAB.归纳:连接圆心与切点之间的半径是常见的辅助线.
试题解析:(1)连接OC,
∵PC为⊙O的切线,
∴OC⊥PC,∴∠PCO=90°,
∴在Rt△PCO中,tan∠CPA=
又∠CPA=30°,AB=6cm,
(cm),
(2)存在.证明如下:
∵PC为⊙O的切线,
∴∠PCO=∠OCB+∠PCB=90°
又∵AB为⊙O的直径,
∴∠ACB=90°,
∴∠CAB+∠ABC=90°,
∴∠PCB+∠OCB=∠CAB+∠ABC=90°
又∵OB=OC,
∴∠OCB=∠ABC,
∴∠PCB=∠CAB.

举一反三
如图,用一块直径为a的圆桌布平铺在对角线长为a的正方形桌面上,若四周下垂的最大长度相等,则桌布下垂的最大长度x为(   )
A.B.C.D.

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如图,水平地面上有一面积为30p 的灰色扇形OAB,其中OA的长度 为6 ,且OA与地面垂直.若在没有滑动的情况下,将图(甲)的扇形向右滚动至点A再一次接触地面,如图(乙)所示,则O点移动了(   )
A.11pB.12pC.10p + D.11p +

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如图,将弧BC沿弦BC折叠交直径AB于点D,若AD=6, DB=7,则BC的长是(   )
A.B.C.D.

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把底面直径为6㎝,高为4㎝的空心无盖圆锥纸筒剪开摊平在桌面上,摊平后它能遮住的桌面面积是       2
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如图,在以AB为直径的⊙O中,点C是⊙O上一点,弦AC长6 cm,BC长8 cm,∠ACB的平分线交AB于E,交⊙O于D.则弦AD的长是      cm.

 
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