试题分析:(1)连接AE,利用直径所对的圆周角是直角,从而判定直角三角形,利用直角三角形两锐角相等得到直角,从而证明∠ABF=90°. (2)利用已知条件证得∴△AGC∽△BFA,利用比例式求得线段的长即可. 试题解析:(1)证明:连接AE,∵AB是⊙O的直径,∴∠AEB=90°,∴∠1+∠2=90°.∵AB=AC,∴∠1=∠CAB.∵∠CBF=∠CAB,∴∠1=∠CBF,∴∠CBF+∠2=90°,即∠ABF=90°,∵AB是⊙O的直径,∴直线BF是⊙O的切线. (2)过点C作CG⊥AB于G.∵sin∠CBF=,∠1=∠CBF,∴sin∠1=,∵在Rt△AEB中,∠AEB=90°,AB=5,∴BE=AB•sin∠1=,∵AB=AC,∠AEB=90°,∴BC=2BE=,在Rt△ABE中,由勾股定理得AE==,∴sin∠2==,cos∠2==,在Rt△CBG中,可求得GC=4,GB=2,∴AG=3,∵GC∥BF,∴△AGC∽△ABF,∴,∴BF=.
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