如图,AB是⊙O的直径,AE平分∠BAF,交⊙O于点E,过点E作直线ED⊥AF,交AF的延长线于点D,交AB的延长线于点C.(1)求证:CD是⊙O的切线;(2)

如图,AB是⊙O的直径,AE平分∠BAF,交⊙O于点E,过点E作直线ED⊥AF,交AF的延长线于点D,交AB的延长线于点C.(1)求证:CD是⊙O的切线;(2)

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如图,AB是⊙O的直径,AE平分∠BAF,交⊙O于点E,过点E作直线ED⊥AF,交AF的延长线于点D,交AB的延长线于点C.

(1)求证:CD是⊙O的切线;
(2)若CB=2,CE=4,①求圆的半径;②求DE、DF的长.
答案
(1)证明见解析;(2)①3;②.
解析

试题分析:(1)连接OE,证OE∥AD,即可得出OE⊥CD根据切线判定推出即可;(2)证△COE∽△CAD,求出DE,AD,证△DEF∽△DAF,推出DE2=DF×AD,即可求出DF.
试题解析:(1)如图,连接OE,
∵OA=OE,∴∠OAE=∠OEA.
∵AE平分∠CAD,∴∠OAE=∠DAE. ∴∠OEA=∠DAE. ∴OE∥AD.
∵DE⊥AD,∴OE⊥DE.
∵OE为半径,∴CD是⊙O的切线。

(2)①设⊙O的半径是r,
∵CD是⊙O的切线,∴∠OEC=90°.
由勾股定理得:OE2+CE2=OC2,即,解得r=3,即⊙O的半径是3
②∵由(1)知:OE∥AD,∴,△COE∽△CAD.
. ∴. ∴,解得.
如图,连接BE、EF,
∵AB是直径,∴∠BEA="90°." ∴∠ABE+∠BAE="90°."
∵B、E、A、F四点共圆,∴∠EFD=∠ABE.
∵AE平分∠CAD,∴∠BAE=∠DAE. ∴∠DAE+∠EFD=90°.
∵ED⊥AD,∴∠FED+∠EFD="90°." ∴∠DAE=∠FED.
∵∠D=∠D,∴△EFD∽△AED. ∴,∴.

举一反三
如图,直线分别与两坐标轴交于A,B两点,点C从A点出发沿射线BA方向移动,速度为每秒1个单位长度.以C为顶点作等边△CDE,其中点D和点E都在x轴上.半径为的⊙M与x轴、直线AB相切于点G、F.

(1)直线AB与x轴所夹的角∠ABO=       °;
(2)求当点C移动多少秒时,等边△CDE的边CE与⊙M相切?
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平面直角坐标系中,点P(-3,4)与半径为5的⊙O的位置关系是
A.在⊙O内B.在⊙O上C.在⊙O外D.不能确定

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如图,AB是⊙O的直径,CD是弦,CD⊥AB于E,则下列结论不一定成立的是
A.∠COE=∠DOEB.CE=DE;C.OE=BE;D.

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如图,△ABC中,∠C=90°,AC=5cm,BC=12cm,⊙O分别切AC,BC于点D,E,圆心O在AB上,则⊙O的半径r为
A.2cmB.4cmC.cmD.cm

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如图,圆弧形桥拱的跨度AB=16米,拱高CD=4米,则拱桥的半径为         

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