如图,⊙O的直径AB=6,AD、BC是⊙O的两条切线,AD=2,BC=.(1)求OD、OC的长;(2)求证:△DOC∽△OBC;(3)求证:CD是⊙O切线.

如图,⊙O的直径AB=6,AD、BC是⊙O的两条切线,AD=2,BC=.(1)求OD、OC的长;(2)求证:△DOC∽△OBC;(3)求证:CD是⊙O切线.

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如图,⊙O的直径AB=6,AD、BC是⊙O的两条切线,AD=2,BC=

(1)求OD、OC的长;
(2)求证:△DOC∽△OBC;
(3)求证:CD是⊙O切线.
答案
解:(1)∵AD、BC是⊙O的两条切线,∴∠OAD=∠OBC=90°。
在Rt△AOD与Rt△BOC中,OA=OB=3,AD=2,BC=
根据勾股定理得:
(2)证明:过D作DE⊥BC,可得出∠DAB=∠ABE=∠BED=90°,

∴四边形ABED为矩形。
∴BE=AD=2,DE=AB=6,EC=BC﹣BE=
在Rt△EDC中,根据勾股定理得:

∴△DOC∽△OBC。
(3)证明:过O作OF⊥DC,交DC于点F,
∵△DOC∽△OBC,∴∠BCO=∠FCO。
∵在△BCO和△FCO中,
∴△BCO≌△FCO(AAS)。∴OB=OF。
∴CD是⊙O切线。
解析

试题分析:(1)由AB的长求出OA与OB的长,根据AD,BC为圆的切线,利用切线的性质得到三角形AOD与三角形BOC都为直角三角形,利用勾股定理即可求出OD与OC的长。
(2)过D作DE垂直于BC,可得出BE=AD,DE=AB,在直角三角形DEC中,利用勾股定理求出CD的长,根据三边对应成比例的三角形相似即可得证。
(3)过O作OF垂直于CD,根据(2)中两三角形相似,利用相似三角形的对应角相等得到一对角相等,利用AAS得到三角形OCF与三角形OCB全等,由全等三角形的对应边相等得到OF=OB,即OF为圆的半径,即可确定出CD为圆O的切线。 
举一反三
直线AB与⊙O相切于B点,C是⊙O与OA的交点,点D是⊙O上的动点(D与B,C不重合),若∠A=40°,则∠BDC的度数是
A.25°或155°B.50°或155°C.25°或130°D.50°或130°

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如图,在△ABC中,AB=6,将△ABC绕点B顺时针旋转60°后得到△DBE,点A经过的路径为弧AD,则图中阴影部分的面积是   

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已知:⊙O的直径为3,线段AC=4,直线AC和PM分别与⊙O相切于点A,M.

(1)求证:点P是线段AC的中点;
(2)求sin∠PMC的值.
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如图,菱形ABCD的对角线BD、AC分别为2、,以B为圆心的弧与AD、DC相切,则阴影部分的面积是

A.       B.        C.        D.
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如图,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC的平分线AD交BC于D,过点D作DE⊥AD交AB于E,以AE为直径作⊙O.

(1)求证:点D在⊙O上;
(2)求证:BC是⊙O的切线;
(3)若AC=6,BC=8,求△BDE的面积.
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