如图,已知⊙O是等腰直角三角形ADE的外接圆,∠ADE=90°,延长ED到C使DC=AD,以AD,DC为邻边作正方形ABCD,连接AC,连接BE交AC于点H.求
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如图,已知⊙O是等腰直角三角形ADE的外接圆,∠ADE=90°,延长ED到C使DC=AD,以AD,DC为邻边作正方形ABCD,连接AC,连接BE交AC于点H.求证:
(1)AC是⊙O的切线. (2)HC=2AH. |
答案
(1)根据圆周角定理由∠ADE=90°得AE为⊙O的直径,再根据等腰直角三角形得到∠EAD=45°,根据正方形得到∠DAC=45°,则∠EAC=90°,然后根据切线的判定定理即可得到结论。 (2)由AB∥CD得△ABH∽△CEH,则AH:CH=AB:ED,根据等腰直角三角形和正方形的性质易得EC=2AB,则AH:CH=1:2 |
解析
分析:(1)根据圆周角定理由∠ADE=90°得AE为⊙O的直径,再根据等腰直角三角形得到∠EAD=45°,根据正方形得到∠DAC=45°,则∠EAC=90°,然后根据切线的判定定理即可得到结论。 (2)由AB∥CD得△ABH∽△CEH,则AH:CH=AB:ED,根据等腰直角三角形和正方形的性质易得EC=2AB,则AH:CH=1:2。 证明:(1)∵∠ADE=90°,∴AE为⊙O的直径。 ∵△ADE为等腰直角三角形,∴∠EAD=45°。 ∵四边形ABCD为正方形,∴∠DAC=45°。 ∴∠EAC=45°+45°=90°。∴AC⊥AE。 ∵AE是⊙O的直径,∴AC是⊙O的切线。 (2)∵四边形ABCD为正方形,∴AB∥CD。 ∴△ABH∽△CEH。∴AH:CH=AB:ED。 ∵△ADE为等腰直角三角形,∴AD=ED。 又∵AD=AB=DC,∴EC=2AB。 ∴AH:CH=1:2,即HC=2AH。 |
举一反三
如图,△ABC内接于⊙O,∠ACB=35º,则∠OAB= º.
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点O在直线AB上,点A1,A2,A3,……在射线OA上,点B1,B2,B3,……在射线OB上,图中的每一个实线段和虚线段的长均为1个单位长度.一个动点M从O点出发,按如图所示的箭头方向沿着实线段和以点O为圆心的半圆匀速运动,速度为每秒1个单位长度.按此规律,则动点M到达A101点处所需时间为 秒.
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如图,在△ABC中,AB=4,AC=6,∠BAC=60º,∠BAC的角平分线交△ABC的外接圆⊙O于点E,则AE的长为 .
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AB是⊙O的一条弦,它的中点为M,过点M作一条非直径的弦CD,过点C和D作⊙O的两条切线,分别与直线AB相交于P、Q两点.求证:PA=QB
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用如图所示的扇形纸片制作一个圆锥的侧面,要求圆锥的高是4 cm,底面周长是6π cm,则扇形的半径为
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