如图,△OAB中,OA =" OB" = 10,∠AOB = 80°,以点O为圆心,6为半径的优弧分别交OA,OB于点M,N.(1)点P在右半弧上(∠BOP是锐

如图,△OAB中,OA =" OB" = 10,∠AOB = 80°,以点O为圆心,6为半径的优弧分别交OA,OB于点M,N.(1)点P在右半弧上(∠BOP是锐

题型:不详难度:来源:
如图,△OAB中,OA =" OB" = 10,∠AOB = 80°,以点O为圆心,6为半径的优弧分别交OA,OB于点M,N.

(1)点P在右半弧上(∠BOP是锐角),将OP绕点O逆时针旋转80°得OP′.
求证:AP = BP′;
(2)点T在左半弧上,若AT与弧相切,求点T到OA的距离;
(3)设点Q在优弧上,当△AOQ的面积最大时,直接写出∠BOQ的度数.
答案
(1)根据已知得出∠AOP=∠BOP′,从进而由SAS得出△AOP≌△BOP′,即可得出答案。
(2)
(3)10°或170°
解析

分析:(1)根据已知得出∠AOP=∠BOP′,从进而由SAS得出△AOP≌△BOP′,即可得出答案。
(1)证明:如图1,∵∠AOP=∠AOB+∠BOP=80°+∠BOP,

∠BOP′=∠POP′+∠BOP=80°+∠BOP,
∴∠AOP=∠BOP′。
∵在△AOP和△BOP′中,
∴△AOP≌△BOP′(SAS)。
∴AP=BP′。
(2)利用切线的性质得出∠ATO=90°,再利用勾股定理求出AT的长,进而得出TH的长即可得出答案。
解:如图1,连接OT,过点T作TH⊥OA于点H,
∵AT与相切,∴∠ATO=90°。

×OA×TH=×AT×OT,
×10×TH=×8×6,解得:TH=
∴点T到OA的距离为
(3)如图2,当OQ⊥OA时,△AOQ的面积最大。理由如下:

当Q点在优弧左侧上,
∵OQ⊥OA,
∴QO是△AOQ中最长的高,则△AOQ的面积最大。
∴∠BOQ=∠AOQ+∠AOB=90°+80°=170°。
当Q点在优弧右侧上,
∵OQ⊥OA,
∴QO是△AOQ中最长的高,则△AOQ的面积最大。
∴∠BOQ=∠AOQ--∠AOB=90°-80°=10°。
综上所述:当∠BOQ的度数为10°或170°时,△AOQ的面积最大。
举一反三
如图,已知⊙O是△ABC的外接圆,若∠BOC=100°,则∠BAC=     

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如图,已知⊙O是等腰直角三角形ADE的外接圆,∠ADE=90°,延长ED到C使DC=AD,以AD,DC为邻边作正方形ABCD,连接AC,连接BE交AC于点H.求证:

(1)AC是⊙O的切线.
(2)HC=2AH.
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如图,△ABC内接于⊙O,∠ACB=35º,则∠OAB=       º.

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点O在直线AB上,点A1,A2,A3,……在射线OA上,点B1,B2,B3,……在射线OB上,图中的每一个实线段和虚线段的长均为1个单位长度.一个动点M从O点出发,按如图所示的箭头方向沿着实线段和以点O为圆心的半圆匀速运动,速度为每秒1个单位长度.按此规律,则动点M到达A101点处所需时间为       秒.

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如图,在△ABC中,AB=4,AC=6,∠BAC=60º,∠BAC的角平分线交△ABC的外接圆⊙O于点E,则AE的长为       .

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