如图,在直角坐标系中,半径为1的⊙A圆心与原点O重合,直线l分别交x轴、y轴于点B、C,若点B的坐标为(6,0),tan∠ABC=.(1)若点P是⊙A上的动点,

如图,在直角坐标系中,半径为1的⊙A圆心与原点O重合,直线l分别交x轴、y轴于点B、C,若点B的坐标为(6,0),tan∠ABC=.(1)若点P是⊙A上的动点,

题型:不详难度:来源:
如图,在直角坐标系中,半径为1的⊙A圆心与原点O重合,直线l分别交x轴、y轴于点B、C,若点B的坐标为(6,0),tan∠ABC=

(1)若点P是⊙A上的动点,求P到直线BC的最小距离,并求此时点P的坐标;
(2)若点A从原点O出发,以1个单位/秒的速度沿着线路OB→BC→CO运动,回到点O停止运动,⊙A随着点A的运动而移动.设点A运动的时间为t.
①求⊙A在整个运动过程中与坐标轴相切时t的取值;
②求⊙A在整个运动过程中所扫过的图形的面积为    
答案
(1),最小距离为3.8;(2)①1、、23;②42+
解析

试题分析:(1)利用点B的坐标为(6,0)且tan∠ABC=,即可得出C点坐标,进而利用△OPH∽△CBO,求出P点坐标即可;
(2)①利用⊙A在整个运动过程中所扫过的面积=矩形DROC面积+矩形OYHB面积+矩形BGFC面积+△ABC面积+一个圆的面积-△LSK面积,求出即可;
②利用相似三角形的判定与性质得出t的值即可,注意利用数形结合得出.
(1)∵点B的坐标为(6,0)且tan∠ABC=


∴AC=8,
故C点坐标为:C(0,8),
∴BC=10,
过O作OG⊥BC于G,则OG与⊙A的交点即为所求点P.过P作PH⊥x轴于H,

∵PH⊥AB,
∴∠OHP=90°,
∵∠POH+∠COP=90°,∠POC+∠OCG=90°,
∴∠POH=∠OCG,
又∵∠COB=90°,
∴△OPH∽△CBO,

可得

(2)①如图所示:⊙A与△OBC的三边相切有6种不同的情况,
当⊙O2与BC相切于点N,则O2N⊥BC,

∵∠OBC=∠O2BN,∠O2NB=∠COB=90°,
∴△O2NB∽△COB,

解得
,则t的值为秒,
同理可得出:O3,O4,O5的位置,即可得出时间t的值,
故t=1、、23;
②如图2所示:当圆分别在O,B,C位置时,作出公切线DR,YH,FG,PW,切点分别为:D,R,H,G,F,P,W
连接CD,CF,BG,过点K作KX⊥BC于点X,PW交AB于点U,

∵PU∥OB,
∴∠OBC=∠KUX,
∵∠KXU=∠COB=90°,
∴△COB∽△KXU,

∵PU∥BO,
∴△CPU∽△COB,

同理可得出:△LSK∽△COB,

解得:LS=4,
则∠CDR=∠CFG=∠BGF=∠BHY=∠AYH=90°,
故⊙A在整个运动过程中所扫过的面积
=矩形DROC面积+矩形OYHB面积+矩形BGFC面积+△ABC面积+一个圆的面积-△LSK面积,

=42+.
点评:圆的综合题是初中数学的重点和难点,是中考的热点,尤其在压轴题中极为常见,要特别注意.
举一反三
两圆的圆心距为5,它们的半径分别是一元二次方程x2-5x+4=0的两根,则两圆(   )
A.外切B.相交C.内切D.外离

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如图,已知扇形的圆心角为2(定值),半径为R(定值),分别在图一、二中作扇形的内接矩形,若按图一作出的矩形面积的最大值为,则按图二作出的矩形面积的最大值为(   )
A. B.C. D.

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如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的弦,∠ABD=58°,则∠BCD的度数为______.
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已知直线与x轴交于点A,与y轴交于点B,点C(0,2)、点M(m,0),如果以MC为半径的⊙M与直线AB相切,则经过点A、C、M的抛物线的解析式为________.
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如图,等腰三角形ABC中,AC=BC=3,AB=4.以BC为直径作⊙O交AB于点D,交AC于点G,DF⊥AC,垂足为F,交CB的延长线于点E.

(1)求证:直线EF是⊙O的切线;
(2)连接BG,求的值.
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