试题分析:(1)根据角平分线与垂线的画法即可作出图形; (2)先根据圆周角定理可得∠ADB=90°,再结合DE⊥AC,AD平分∠CAB,即可证得Rt△ADE∽Rt△ABD,根据相似三角形的性质即可得到结论; (3)连OD、BC,它们交于点G,由5AC=3AB,可设AC=3x,AB=5x,根据圆周角定理可得∠ACB=90°,由∠CAD=∠DAB,可的弧DC=弧DB,即可得到OD∥AE,OG=AC=,从而证得四边形ECGD为矩形,可的CE=DG=OD-OG=x-x =x,则AE=AC+CE=3x+x=4x,根据AE∥OD,可得△AEF∽△DOF,根据相似三角形的性质即可求得结果. (1)如图;
(2)∵AB是⊙O的直径, ∴∠ADB=90°, 而DE⊥AC, ∴∠AED=90°, ∵AD平分∠CAB, ∴∠CAD=∠DAB, ∴Rt△ADE∽Rt△ABD, ∴AD:AB=AE:AD, ∴AD2=AE•AB; (3)连OD、BC,它们交于点G,如图,
∵5AC=3AB,即AC:AB=3:5, ∴不妨设AC=3x,AB=5x, ∵AB是⊙O的直径, ∴∠ACB=90°, 又∵∠CAD=∠DAB, ∴弧DC=弧DB, ∴OD垂直平分BC, ∴OD∥AE,OG=AC=, ∴四边形ECGD为矩形, ∴CE=DG=OD-OG=x-x =x, ∴AE=AC+CE=3x+x=4x, ∵AE∥OD, ∴△AEF∽△DOF, ∴AE:OD=EF:OF, ∴EF:OF=4x:x=8:5, ∴. 点评:解答本题的关键是熟练掌握直径所对的圆周角是直角;相似三角形的对应边成比例,注意对应字母在对应位置上. |