如图,在等边△ABC中,AD⊥BC于点D,一个直径与AD相等的圆与BC相切于点E,与AB相切于点F,连接EF。(1)判断EF与AC的位置关系(不必说明理由);;

如图,在等边△ABC中,AD⊥BC于点D,一个直径与AD相等的圆与BC相切于点E,与AB相切于点F,连接EF。(1)判断EF与AC的位置关系(不必说明理由);;

题型:不详难度:来源:
如图,在等边△ABC中,AD⊥BC于点D,一个直径与AD相等的圆与BC相切于点E,与AB相切于点F,连接EF。

(1)判断EF与AC的位置关系(不必说明理由);;
(2)如图(2),过E作BC的垂线,交圆于G,连接AG,判断四边形ADEG的形状,并说明理由。
(3)求证:AC与GE的交点O为此圆的圆心.
答案
(1)EF∥AC;(2)四边形ADEG为矩形。
解析

试题分析:(1)根据∠EFB与∠FEB都是弦切角,可得△ABC是等边三角形,∠ABC=∠BAC=∠ACB=60°,即△BFE为等边三角形,所以求得∠BAC=∠BFE,∠BCA=∠BEF,可证明EF∥AC;
(2)根据圆切BC于E,EG为直径,AD=EG,AD⊥BC,可判定四边形ADEG为矩形;
(3)由(1)(2)的结论,证明AC垂直平分FG;再根据垂径定理,可知AC必过圆心,又EG为直径,所以AC与GE的交点O为此圆的圆心.
(1)EF∥AC;
(2)四边形ADEG为矩形。
理由:∵EG⊥BC,E为切点,
∴EG为直径,
∴EG=AD
又∵AD⊥BC,EG⊥BC,
∴AD∥EG,即四边形ADEG为矩形。
(3)连接FG,

由(2)可知EG为直径,
∴FG⊥EF,
又由(1)可知,EF∥AC,
∴AC⊥FG,
又∵四边形ADEG为矩形,
∴EG⊥AG,则AG是已知圆的切线。
而AB也是已知圆的切线,则AF=AG,
∴AC是FG的垂直平分线,故AC必过圆心,
因此,圆心O就是AC与EG的交点。
说明:也可据△AGO≌△AFO进行说理。
点评:解答本题的关键是要熟练掌握矩形的判定和圆中的有关性质才能灵活的解题.
举一反三
下列语句中不正确的有(  )
①长度相等的两条弧是等弧 ②平分弦的直径垂直于弦 ③直径所对的圆周角是直角④一条弧所对的圆心角等于它所对圆周角的2倍
A.3个B.2个C.1个D.以上都不对

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如图,正三角形内接于圆,动点在圆上,且不与B、C重合,则等于(     )

A.      B.      C.60°或120°    D. 120°
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如图,两正方形彼此相邻且内接于半圆,若小正方形的面积为16cm2,则该半圆的半径为(    )
A.cmB.9 cmC.cmD.cm

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如图CD是⊙O的直径,弦AB⊥CD,连接OA,OB,BD,若∠AOB=100°,则∠ABD=        度。
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如图,点A、B是⊙O上两点,AB=12,点P是⊙O上的动点(P与A,B不重合)连结AP,PB,过点O分别作OE⊥AP于点E,OF⊥PB于点F,则EF=      。
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