如图所示，AC为⊙O的直径且PA⊥AC，BC是⊙O的一条弦，直线PB交直线AC于点D，.（1）求证：直线PB是⊙O的切线；（2）求cos∠BCA的值．

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如图所示，AC为⊙O的直径且PA⊥AC，BC是⊙O的一条弦，直线PB交直线AC于点D，.

（1）求证：直线PB是⊙O的切线；
（2）求cos∠BCA的值．

答案

解：（1）证明：连接OB、OP 
∵ 且∠D=∠D
∴ △BDC∽△PDO
∴ ∠DBC=∠DPO ∴  BC∥OP
∴ ∠BCO=∠POA  ∠CBO=∠BOP
∵  OB=OC  ∴ ∠OCB=∠CBO  ∴ ∠BOP=∠POA
又∵  OB=OA  OP=OP    ∴ △BOP≌△AOP  ∴ ∠PBO=∠PAO
又∵  PA⊥AC   ∴ ∠PBO=90° ∴ 直线PB是⊙O的切线
（2）由（1）知∠BCO=∠POA   设PB，则
又∵    ∴  
又∵  BC∥OP  ∴   ∴ 
∴ ∴  ∴  cos∠BCA=cos∠POA= 

解析

（1）连接OB、OP，由且∠D=∠D，根据三角形相似的判定得到△BDC∽△PDO，可得到BC∥OP，易证得△BOP≌△AOP，则∠PBO=∠PAO=90°；
（2）设PB=a，则BD=2a，根据切线长定理得到PA=PB=a，根据勾股定理得到，又BC∥OP，得到DC=2CO，得到，则，利用勾股定理求出OP，然后根据余弦函数的定义即可求出cos∠BCA=cos∠POA的值．